Номер 24.1, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (24.1–24.3):

24.1.1) $\log_3(2x - 1) = 2;$

2) $\ln(3x - 5) = 0;$

3) $\log_7(4 - x) = 1;$

4) $\lg(2x - 1) = \lg3.$

24.1. 1) $\log_3(2x - 1) = 2$

Для решения логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

В данном случае $a=3$, $b=2x-1$, $c=2$.

$2x - 1 = 3^2$

$2x - 1 = 9$

$2x = 10$

$x = 5$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ.

$5 > 1/2$. Условие выполняется, следовательно, корень подходит.

Ответ: $5$.

2) $\ln(3x - 5) = 0$

Натуральный логарифм $\ln$ имеет основание $e$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$3x - 5 > 0$

$3x > 5$

$x > 5/3$

Решим уравнение, используя определение логарифма: $\ln b = c$ эквивалентно $b = e^c$.

$3x - 5 = e^0$

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($e^0 = 1$), получаем:

$3x - 5 = 1$

$3x = 6$

$x = 2$

Проверим корень на соответствие ОДЗ.

$2 > 5/3$ (так как $6/3 > 5/3$). Условие выполняется.

Ответ: $2$.

3) $\log_7(4 - x) = 1$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$4 - x > 0$

$x < 4$

Решим уравнение по определению логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

$4 - x = 7^1$

$4 - x = 7$

$-x = 7 - 4$

$-x = 3$

$x = -3$

Проверим корень на соответствие ОДЗ.

$-3 < 4$. Условие выполняется.

Ответ: $-3$.

4) $\lg(2x - 1) = \lg3$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание 10.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

(Аргумент второго логарифма, 3, уже является положительным числом, поэтому дополнительных ограничений не требуется).

Если логарифмы по одному и тому же основанию равны, то равны и их аргументы.

$2x - 1 = 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Проверим корень на соответствие ОДЗ.

$2 > 1/2$. Условие выполняется.

Ответ: $2$.