Номер 23.13, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.13. 1) $8^x + 3 \cdot 4^x = 12 + 2^{2x+2}$;

2) $3^{1+3x} - 9^x = 3^{x+2} - 3$;

3) $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^x + 1 = 0$;

4) $3 \cdot 8^x + 4 \cdot 12^x - 18^x - 2 \cdot 27^x = 0$.

1) $8^x + 3 \cdot 4^x = 12 + 2^{x+2}$

Приведем все степени в уравнении к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(2^3)^x + 3 \cdot (2^2)^x = 12 + 2^x \cdot 2^2$

$(2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 = 12 + 4 \cdot 2^x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^3 + 3t^2 = 12 + 4t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$t^3 + 3t^2 - 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение методом группировки:

$t^2(t + 3) - 4(t + 3) = 0$

$(t^2 - 4)(t + 3) = 0$

$(t - 2)(t + 2)(t + 3) = 0$

Отсюда получаем три возможных значения для $t$: $t_1 = 2$, $t_2 = -2$, $t_3 = -3$.

Вспомним наше условие $t > 0$. Ему удовлетворяет только $t = 2$.

Теперь вернемся к замене:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

2) $3^{1+2x} - 9^x = 3^{x+2} - 3$

Приведем все степени к основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$3^1 \cdot 3^{2x} - (3^2)^x = 3^x \cdot 3^2 - 3$

$3 \cdot (3^x)^2 - (3^x)^2 = 9 \cdot 3^x - 3$

$2 \cdot (3^x)^2 = 9 \cdot 3^x - 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Условие: $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$2t^2 = 9t - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 - 9t + 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 81 - 24 = 57$

Корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{4}$

Оба корня, $t_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{4}$ и $t_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{4}$, положительны (поскольку $\sqrt{57} < \sqrt{81} = 9$), поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к замене:

Случай 1: $3^x = \frac{9 + \sqrt{57}}{4}$. Отсюда $x_1 = \log_3\left(\frac{9 + \sqrt{57}}{4}\right)$.

Случай 2: $3^x = \frac{9 - \sqrt{57}}{4}$. Отсюда $x_2 = \log_3\left(\frac{9 - \sqrt{57}}{4}\right)$.

Ответ: $x_1 = \log_3\left(\frac{9 + \sqrt{57}}{4}\right)$, $x_2 = \log_3\left(\frac{9 - \sqrt{57}}{4}\right)$.

3) $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^x + 1 = 0$

Приведем все степени к основанию 2: $16=2^4, 8=2^3, 4=2^2$.

$(2^4)^x + (2^3)^x - 4 \cdot (2^2)^x + 2^x + 1 = 0$

$(2^x)^4 + (2^x)^3 - 4 \cdot (2^x)^2 + 2^x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$

Это симметрическое (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $t=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $t^2$:

$t^2 + t - 4 + \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$

Сгруппируем члены:

$\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) + \left(t + \frac{1}{t}\right) - 4 = 0$

Сделаем еще одну замену. Пусть $y = t + \frac{1}{t}$. Тогда $y^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$, откуда $t^2 + \frac{1}{t^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 2) + y - 4 = 0$

$y^2 + y - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Вернемся к замене $y = t + \frac{1}{t}$:

Случай 1: $t + \frac{1}{t} = 2$. Умножим на $t$: $t^2 + 1 = 2t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.

Случай 2: $t + \frac{1}{t} = -3$. Умножим на $t$: $t^2 + 1 = -3t \implies t^2 + 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D=3^2-4=5$. Корни $t = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Оба корня отрицательны и не удовлетворяют условию $t>0$.

Единственный подходящий корень $t=1$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x=0$.

4) $3 \cdot 8^x + 4 \cdot 12^x - 18^x - 2 \cdot 27^x = 0$

Представим основания степеней в виде произведений простых чисел: $8=2^3$, $12=3 \cdot 2^2$, $18=2 \cdot 3^2$, $27=3^3$.

$3 \cdot (2^3)^x + 4 \cdot (3 \cdot 2^2)^x - (2 \cdot 3^2)^x - 2 \cdot (3^3)^x = 0$

$3 \cdot (2^x)^3 + 4 \cdot 3^x \cdot (2^x)^2 - 2^x \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot (3^x)^3 = 0$

Это однородное уравнение третьей степени относительно $2^x$ и $3^x$. Так как $3^x \neq 0$, разделим обе части уравнения на $(3^x)^3$:

$3 \cdot \frac{(2^x)^3}{(3^x)^3} + 4 \cdot \frac{3^x \cdot (2^x)^2}{(3^x)^3} - \frac{2^x \cdot (3^x)^2}{(3^x)^3} - 2 \cdot \frac{(3^x)^3}{(3^x)^3} = 0$

$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3x} + 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.

$3t^3 + 4t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Проверим делители свободного члена (-2), деленные на делители старшего коэффициента (3). Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$.

Проверим $t = \frac{2}{3}$: $3\left(\frac{8}{27}\right) + 4\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{9} + \frac{16}{9} - \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = \frac{24 - 24}{9} = 0$. Значит, $t = \frac{2}{3}$ является корнем.

Проверим $t = -1$: $3(-1)^3 + 4(-1)^2 - (-1) - 2 = -3 + 4 + 1 - 2 = 0$. Значит, $t=-1$ является корнем.

Разделим многочлен $(3t^3 + 4t^2 - t - 2)$ на $(t+1)$:

$(3t^3 + 4t^2 - t - 2) : (t+1) = 3t^2 + t - 2$.

Теперь решим квадратное уравнение $3t^2 + t - 2 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$t_1 = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$t_2 = \frac{-1-5}{6} = -1$.

Корни для $t$: $\frac{2}{3}$ и $-1$ (кратный корень).

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t = \frac{2}{3}$.

Вернемся к замене:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$x=1$

Ответ: $x=1$.