Номер 23.15, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.15. 1) $9 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{1 + \frac{1}{2}x} = \frac{1}{81^x};$

2) $2^{x-1} = 0.5^{1-x};$

3) $27^{x+2} = 81^{x^2-1};$

4) $(0.2)^{x+3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1}.$

1)Исходное уравнение: $9 \cdot (\frac{1}{27})^{|1 + \frac{1}{2}x|} = \frac{1}{81^x}$.Приведем все части уравнения к основанию 3.$9 = 3^2$$\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$$\frac{1}{81^x} = (81^x)^{-1} = ((3^4)^x)^{-1} = 3^{-4x}$Подставим эти значения в уравнение:$3^2 \cdot (3^{-3})^{|1 + \frac{1}{2}x|} = 3^{-4x}$Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:$3^2 \cdot 3^{-3|1 + \frac{1}{2}x|} = 3^{-4x}$Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:$3^{2 - 3|1 + \frac{1}{2}x|} = 3^{-4x}$Теперь приравняем показатели степеней:$2 - 3|1 + \frac{1}{2}x| = -4x$Выразим модуль:$2 + 4x = 3|1 + \frac{1}{2}x|$Так как левая часть уравнения равна модулю, умноженному на положительное число, она должна быть неотрицательной: $2 + 4x \ge 0$, что означает $4x \ge -2$, или $x \ge -0.5$.Рассмотрим два случая раскрытия модуля.Случай 1: $1 + \frac{1}{2}x \ge 0$, то есть $x \ge -2$.$2 + 4x = 3(1 + \frac{1}{2}x)$$2 + 4x = 3 + \frac{3}{2}x$$4x - \frac{3}{2}x = 3 - 2$$\frac{5}{2}x = 1 \implies x = \frac{2}{5}$Проверяем условия: $x = 0.4$. Условие $x \ge -0.5$ выполнено. Условие $x \ge -2$ выполнено. Корень подходит.Случай 2: $1 + \frac{1}{2}x < 0$, то есть $x < -2$.$2 + 4x = -3(1 + \frac{1}{2}x)$$2 + 4x = -3 - \frac{3}{2}x$$4x + \frac{3}{2}x = -3 - 2$$\frac{11}{2}x = -5 \implies x = -\frac{10}{11}$Проверяем условие $x < -2$: $-\frac{10}{11} \approx -0.91$, что не меньше -2. Этот корень не удовлетворяет условию раскрытия модуля.Таким образом, у уравнения один корень.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

2)Исходное уравнение: $2^{|x-1|} = 0.5^{1-x}$.Приведем правую часть к основанию 2.$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$Подставим это в уравнение:$2^{|x-1|} = (2^{-1})^{1-x}$$2^{|x-1|} = 2^{-1(1-x)}$$2^{|x-1|} = 2^{x-1}$Теперь приравняем показатели степеней:$|x-1| = x-1$Равенство $|a| = a$ верно тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.Следовательно, $x-1 \ge 0$.$x \ge 1$.

Ответ: $ [1; +\infty) $.

3)Исходное уравнение: $27^{|x+2|} = 81^{x^2-1}$.Приведем обе части уравнения к основанию 3.$27 = 3^3$$81 = 3^4$Подставим эти значения в уравнение:$(3^3)^{|x+2|} = (3^4)^{x^2-1}$$3^{3|x+2|} = 3^{4(x^2-1)}$Приравняем показатели степеней:$3|x+2| = 4(x^2-1)$Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $4(x^2-1) \ge 0 \implies x^2-1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$. Это верно при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.Рассмотрим два случая раскрытия модуля.Случай 1: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.$3(x+2) = 4(x^2-1)$$3x+6 = 4x^2-4$$4x^2-3x-10 = 0$Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.$x_1 = \frac{3+13}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.$x_2 = \frac{3-13}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25$.Проверяем корни. $x_1=2$: $2 \ge -2$ и $2 \in [1; +\infty)$, корень подходит.$x_2=-1.25$: $-1.25 \ge -2$ и $-1.25 \in (-\infty; -1]$, корень подходит.Случай 2: $x+2 < 0$, то есть $x < -2$.$3(-(x+2)) = 4(x^2-1)$$-3x-6 = 4x^2-4$$4x^2+3x+2 = 0$Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $ -\frac{5}{4}; 2 $.

4)Исходное уравнение: $(0.2)^{|x+3|} = (\frac{1}{5})^{x+1}$.Приведем обе части к одному основанию.$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.Уравнение принимает вид:$(\frac{1}{5})^{|x+3|} = (\frac{1}{5})^{x+1}$Приравняем показатели степеней:$|x+3| = x+1$Уравнение вида $|A|=B$ равносильно системе: $\begin{cases} B \ge 0 \\ A=B \text{ или } A=-B \end{cases}$.В нашем случае $B=x+1$, поэтому $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.Теперь решим два уравнения с учетом этого условия.1) $x+3 = x+1 \implies 3=1$. Это неверное равенство, решений нет.2) $x+3 = -(x+1) \implies x+3 = -x-1 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.Проверим полученный корень $x=-2$ на соответствие условию $x \ge -1$.$-2 \ge -1$ является ложным неравенством. Следовательно, корень $x=-2$ является посторонним.Таким образом, у уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.