Номер 23.12, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (23.12—23.15):

23.12. 1) $(1/3)^{\sqrt{x}} (1/3)^x = 1;$

2) $\sqrt{6 - x} (5^{x^2 - 7.2x + 3.4} - 25) = 0;$

3) $4^{-x + 0.5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0;$

4) $\sqrt{x + 3} (7^{x^2 - 6.5x + 5} - 49) = 0.$

1) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}} (\frac{1}{3})^x = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части уравнения:

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}+x} = 1$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$, зная, что любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$):

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}+x} = (\frac{1}{3})^0$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sqrt{x} + x = 0$

$\sqrt{x} = -x$

Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, по определению является неотрицательной. Следовательно, и правая часть, $-x$, должна быть неотрицательной: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$) и полученное условие ($x \le 0$), единственным возможным решением является $x=0$.

Проверим это решение, подставив его в уравнение $\sqrt{x} = -x$:

$\sqrt{0} = -0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, $x=0$ является корнем уравнения.

Ответ: 0.

2) $\sqrt{6-x} (5^{x^2 - 7.2x + 3.4} - 25) = 0$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Рассмотрим два случая:

I. $\sqrt{6-x} = 0$

$6 - x = 0$

$x = 6$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($6 \le 6$).

II. $5^{x^2 - 7.2x + 3.4} - 25 = 0$

$5^{x^2 - 7.2x + 3.4} = 25$

$5^{x^2 - 7.2x + 3.4} = 5^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 - 7.2x + 3.4 = 2$

$x^2 - 7.2x + 1.4 = 0$

Умножим уравнение на 5, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$5x^2 - 36x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 1296 - 140 = 1156 = 34^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{70}{10} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0.2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 6$).

$x_1 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $7 > 6$.

$x_2 = 0.2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.2 \le 6$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=6$ и $x=0.2$.

Ответ: 0,2; 6.

3) $4^{x+0.5} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию 2:

$(2^2)^{x+0.5} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2^{2(x+0.5)} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2^{2x+1} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2^{2x} \cdot 2^1 - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$2^x = t_1 = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: 2.

4) $\sqrt{x+3}(7^{x^2 - 6.5x + 5} - 49) = 0$

ОДЗ: $x+3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

I. $\sqrt{x+3} = 0$

$x+3 = 0$

$x = -3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ -3 \ge -3$).

II. $7^{x^2 - 6.5x + 5} - 49 = 0$

$7^{x^2 - 6.5x + 5} = 49$

$7^{x^2 - 6.5x + 5} = 7^2$

Приравниваем показатели:

$x^2 - 6.5x + 5 = 2$

$x^2 - 6.5x + 3 = 0$

Умножим уравнение на 2:

$2x^2 - 13x + 6 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

$x_2 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -3$), так как $6 \ge -3$ и $0.5 \ge -3$.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: -3; 0,5; 6.