Номер 23.11, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.11. 1) $ \begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 648, \\ 3^x \cdot 2^y = 432; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ y - x = 4. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 648 \\ 3^x \cdot 2^y = 432 \end{cases}$

Для решения этой системы можно перемножить и разделить уравнения друг на друга.

Сначала перемножим левые и правые части уравнений:

$(2^x \cdot 3^y) \cdot (3^x \cdot 2^y) = 648 \cdot 432$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(2^x \cdot 2^y) \cdot (3^x \cdot 3^y) = 648 \cdot 432$

$2^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 648 \cdot 432$

$(2 \cdot 3)^{x+y} = 648 \cdot 432$

$6^{x+y} = 648 \cdot 432$

Разложим числа в правой части на простые множители:

$648 = 2 \cdot 324 = 2 \cdot 18^2 = 2 \cdot (2 \cdot 3^2)^2 = 2 \cdot 2^2 \cdot 3^4 = 2^3 \cdot 3^4$

$432 = 2 \cdot 216 = 2 \cdot 6^3 = 2 \cdot (2 \cdot 3)^3 = 2 \cdot 2^3 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^3$

Тогда их произведение равно:

$648 \cdot 432 = (2^3 \cdot 3^4) \cdot (2^4 \cdot 3^3) = 2^{3+4} \cdot 3^{4+3} = 2^7 \cdot 3^7 = (2 \cdot 3)^7 = 6^7$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$6^{x+y} = 6^7$

Отсюда следует, что $x+y = 7$.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{2^x \cdot 3^y}{3^x \cdot 2^y} = \frac{648}{432}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^x}{2^y} \cdot \frac{3^y}{3^x} = \frac{2^3 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^3}$

$2^{x-y} \cdot 3^{y-x} = 2^{3-4} \cdot 3^{4-3}$

$2^{x-y} \cdot 3^{-(x-y)} = 2^{-1} \cdot 3^1$

$(\frac{2}{3})^{x-y} = \frac{3}{2}$

Так как $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$, уравнение принимает вид:

$(\frac{2}{3})^{x-y} = (\frac{2}{3})^{-1}$

Отсюда следует, что $x-y = -1$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = -1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 7 + (-1)$

$2x = 6$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x$ в первое линейное уравнение:

$3+y=7$

$y=4$

Ответ: (3; 4).

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ y - x = 4 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x+4$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать левую часть:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$

Теперь используем свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$:

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$

$6^x \cdot 16 = 576$

Разделим обе части уравнения на 16:

$6^x = \frac{576}{16}$

$6^x = 36$

Так как $36 = 6^2$, получаем:

$6^x = 6^2$

Отсюда находим $x$:

$x=2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ в выражение $y=x+4$:

$y = 2+4$

$y=6$

Ответ: (2; 6).