Номер 23.7, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (23.7-23.9):

23.7.1) $(0,1)^{4x^2-2x-2} = (0,1)^{2x-3};$

2) $(0,3)^{x^2-2x+2} = 0,09;$

3) $2^{2x+2} - 2^{2x+3} - 2^{2x+4} = 5^{x+1} - 5^{x+2};$

4) $3^{x+2} - 7^{x+2} = 0.$

1) $(0,1)^{4x^2-2x-2} = (0,1)^{2x-3}$

Данное уравнение является показательным. Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны (0,1), мы можем приравнять их показатели:

$4x^2 - 2x - 2 = 2x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 2x - 2 - 2x + 3 = 0$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 0$

$(2x - 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $(0,3)^{x^2-2x+2} = 0,09$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Представим число 0,09 в виде степени с основанием 0,3:

$0,09 = \frac{9}{100} = (\frac{3}{10})^2 = (0,3)^2$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$(0,3)^{x^2-2x+2} = (0,3)^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 2x + 2 = 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$x^2 - 2x + 2 - 2 = 0$

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x-2 = 0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

3) $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} = 5^{x+1} - 5^{x+2}$

Преобразуем обе части уравнения, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Вынесем общий множитель за скобки в каждой части.

Левая часть:

$2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} = 2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 = 2^x(4 - 8 - 16) = 2^x(-20)$

Правая часть:

$5^{x+1} - 5^{x+2} = 5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 = 5^x(5 - 25) = 5^x(-20)$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^x \cdot (-20) = 5^x \cdot (-20)$

Разделим обе части на -20 (поскольку $-20 \neq 0$):

$2^x = 5^x$

Разделим обе части уравнения на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ для любого $x$):

$\frac{2^x}{5^x} = 1$

$(\frac{2}{5})^x = 1$

Любое число в степени 0 равно 1. Таким образом:

$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

4) $3^{x+2} - 7^{x+2} = 0$

Перенесем слагаемое $7^{x+2}$ в правую часть уравнения:

$3^{x+2} = 7^{x+2}$

Поскольку показатели степеней одинаковы, а основания различны, равенство возможно только в одном случае. Разделим обе части уравнения на $7^{x+2}$ (это возможно, так как $7^{x+2} \neq 0$):

$\frac{3^{x+2}}{7^{x+2}} = 1$

Используем свойство частного степеней $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(\frac{3}{7})^{x+2} = 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{7}$:

$(\frac{3}{7})^{x+2} = (\frac{3}{7})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x+2 = 0$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.