Номер 23.1, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (23.1 – 23.4):

23.1. 1) $3^x = 81$;

2) $4^x = 256$;

3) $2^x = \frac{1}{32}$;

4) $5^{x+1} = 125$.

1) Исходное уравнение: $3^x = 81$.

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. Основание в левой части равно 3.

Представим число 81 в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $9^2 = 81$. Следовательно:

$81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.

Теперь уравнение можно переписать в виде:

$3^x = 3^4$.

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 4$.

Ответ: $4$.

2) Исходное уравнение: $4^x = 256$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 4. Для этого представим число 256 в виде степени с основанием 4:

$256 = 16 \cdot 16 = 4^2 \cdot 4^2 = 4^{2+2} = 4^4$.

Подставим это значение в уравнение:

$4^x = 4^4$.

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 4$.

Ответ: $4$.

3) Исходное уравнение: $2^x = \frac{1}{32}$.

Приведем правую часть уравнения к основанию 2. Сначала представим число 32 в виде степени с основанием 2:

$32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2^4 = 2^5$.

Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.

Уравнение принимает вид:

$2^x = 2^{-5}$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = -5$.

Ответ: $-5$.

4) Исходное уравнение: $5^{x+1} = 125$.

Приведем обе части уравнения к основанию 5. Представим число 125 в виде степени с основанием 5:

$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 = 5^3$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$5^{x+1} = 5^3$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x + 1 = 3$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 3 - 1$

$x = 2$.

Ответ: $2$.