Страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. На какое свойство степени с положительным и отличным от единицы основанием опирается решение показательного уравнения способом приведения к одинаковым основаниям?

2. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям? Ответ обоснуйте.

3. Справедливо ли утверждение о том, что если $a > 0$, $a \neq 1$ и $p$ — любое положительное число, то уравнение $a^x = p$ имеет только один действительный корень (рациональный или иррациональный)? Ответ обоснуйте и приведите пример.

4. Согласны ли вы с утверждением, что действия над выражениями вида $a^x$, в которых $x$ является любым действительным числом, можно выполнять по тем же правилам, по которым они выполняются над степенями с целым положительным показателем? Ответ обоснуйте.

5. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

1. На какое свойство степени с положительным и отличным от единицы основанием опирается решение показательного уравнения способом приведения к одинаковым основаниям?

Решение показательного уравнения вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ способом приведения к одинаковым основаниям опирается на свойство монотонности показательной функции $y = a^x$ при $a > 0$ и $a \neq 1$.

Поскольку показательная функция является строго монотонной (строго возрастает при $a > 1$ и строго убывает при $0 < a < 1$), она каждое своё значение принимает только один раз. Это означает, что если значения функции для двух разных аргументов равны, то и сами аргументы должны быть равны.

Формально это свойство записывается так: если $a^{x_1} = a^{x_2}$ (где $a > 0, a \neq 1$), то из этого следует, что $x_1 = x_2$. Именно это позволяет от равенства степеней с одинаковыми основаниями перейти к равенству их показателей.

Ответ: Решение опирается на свойство, согласно которому, если две степени с одинаковым положительным и отличным от единицы основанием равны, то равны и их показатели. Это является следствием строгой монотонности показательной функции.

2. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям? Ответ обоснуйте.

Нет, не всегда. Этот способ применим только в тех случаях, когда все степени, входящие в уравнение, можно представить как степени с одним и тем же основанием.

Обоснование:

Например, уравнение $9^x = 27^{x-1}$ можно решить этим способом, так как и $9$, и $27$ являются степенями числа $3$: $9 = 3^2$, $27 = 3^3$. Уравнение приводится к виду $(3^2)^x = (3^3)^{x-1}$ или $3^{2x} = 3^{3x-3}$, откуда $2x = 3x-3$ и $x = 3$.

Однако рассмотрим уравнение $2^x = 5$. Числа $2$ и $5$ являются взаимно простыми, и невозможно представить $5$ как рациональную степень числа $2$. Поэтому привести это уравнение к виду $2^{f(x)} = 2^{g(x)}$ невозможно. Такие уравнения решаются другими методами, например, с помощью логарифмирования обеих частей: $x = \log_2 5$. Ещё более сложный пример — уравнение $2^x + 3^x = 5^x$, где основания $2, 3, 5$ различны и не приводятся к общему.

Ответ: Нет, не всегда. Этот метод работает только для уравнений, в которых все основания степеней являются степенями одного и того же числа.

3. Справедливо ли утверждение о том, что если $a > 0, a \neq 1$ и $p$ — любое положительное число, то уравнение $a^x = p$ имеет только один действительный корень (рациональный или иррациональный)? Ответ обоснуйте и приведите пример.

Да, данное утверждение справедливо.

Обоснование:

Это следует из свойств показательной функции $y = a^x$ при $a > 0, a \neq 1$:

1. Область значений: Областью значений показательной функции являются все положительные действительные числа, то есть $E(y) = (0; +\infty)$. Это значит, что для любого положительного числа $p$ найдется такое значение $x$, что $a^x = p$.

2. Монотонность: Показательная функция является строго монотонной на всей своей области определения. Если $a > 1$, она строго возрастает; если $0 < a < 1$, она строго убывает. Из-за строгой монотонности функция принимает каждое свое значение ровно один раз. Следовательно, для каждого $p > 0$ существует единственное значение $x$, при котором $a^x=p$. Этот единственный корень по определению называется логарифмом числа $p$ по основанию $a$ и записывается как $x = \log_a p$.

Примеры:

- Уравнение $2^x = 16$. Здесь $a=2 > 0, a \neq 1$ и $p=16 > 0$. Оно имеет единственный действительный корень $x = \log_2 16 = 4$. Этот корень является рациональным.

- Уравнение $5^x = 10$. Здесь $a=5 > 0, a \neq 1$ и $p=10 > 0$. Оно также имеет единственный действительный корень $x = \log_5 10$. Это число является иррациональным.

Ответ: Да, утверждение справедливо. Это следует из того, что показательная функция $y = a^x$ строго монотонна и ее область значений — все положительные числа.

4. Согласны ли вы с утверждением, что действия над выражениями вида $a^x$, в которых $x$ является любым действительным числом, можно выполнять по тем же правилам, по которым они выполняются над степенями с целым положительным показателем? Ответ обоснуйте.

Да, я согласен с этим утверждением.

Обоснование:

Понятие степени исторически расширялось: сначала были определены степени с натуральным показателем, затем с целым, затем с рациональным и, наконец, с действительным. Ключевым принципом при каждом таком расширении было сохранение основных свойств степени. Определение степени с иррациональным показателем вводится таким образом, чтобы все известные для рациональных показателей правила остались в силе.

Основные правила (свойства) для степеней, которые справедливы для любых действительных показателей $x, y$ и положительных оснований $a, b$:

1. $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ (произведение степеней с одинаковым основанием)

2. $a^x / a^y = a^{x-y}$ (частное степеней с одинаковым основанием)

3. $(a^x)^y = a^{xy}$ (возведение степени в степень)

4. $(ab)^x = a^x b^x$ (возведение в степень произведения)

5. $(a/b)^x = a^x / b^x$ (возведение в степень частного)

Эти правила являются фундаментальными и используются при любых преобразованиях выражений, содержащих степени с действительными показателями.

Ответ: Да, согласен. Понятие степени с действительным показателем вводится как обобщение степени с рациональным показателем именно с тем условием, чтобы все основные свойства действий со степенями сохранились.

5. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

Основной смысл метода введения новой переменной (или метода подстановки) заключается в том, чтобы свести сложное показательное уравнение к более простому, как правило, алгебраическому уравнению (линейному, квадратному, дробно-рациональному и т.д.), которое мы уже умеем решать стандартными способами.

Алгоритм этого метода выглядит так:

1. В исходном уравнении находится повторяющееся показательное выражение, например, $a^{f(x)}$.

2. Это выражение заменяется новой переменной, например, $t = a^{f(x)}$. При этом важно учитывать, что новая переменная будет иметь ограничения (поскольку $a^{f(x)} > 0$, то и $t > 0$).

3. Исходное уравнение переписывается относительно новой переменной $t$, в результате чего получается более простое уравнение.

4. Полученное простое уравнение решается относительно $t$.

5. Производится обратная замена: для каждого найденного корня $t_i$, удовлетворяющего ограничениям (т.е. $t_i > 0$), решается простейшее показательное уравнение $a^{f(x)} = t_i$.

Например, уравнение $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ можно переписать как $(2^x)^2 - 5 \cdot (2^x) + 4 = 0$. Введя замену $t = 2^x$ (где $t > 0$), мы получаем простое квадратное уравнение $t^2 - 5t + 4 = 0$, которое легко решается.

Ответ: Основной смысл метода — упрощение исходного показательного уравнения путем его преобразования в более простое алгебраическое уравнение через замену повторяющегося показательного выражения на новую переменную.

Решите уравнения (23.1 – 23.4):

23.1. 1) $3^x = 81$;

2) $4^x = 256$;

3) $2^x = \frac{1}{32}$;

4) $5^{x+1} = 125$.

1) Исходное уравнение: $3^x = 81$.

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. Основание в левой части равно 3.

Представим число 81 в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $9^2 = 81$. Следовательно:

$81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.

Теперь уравнение можно переписать в виде:

$3^x = 3^4$.

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 4$.

Ответ: $4$.

2) Исходное уравнение: $4^x = 256$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 4. Для этого представим число 256 в виде степени с основанием 4:

$256 = 16 \cdot 16 = 4^2 \cdot 4^2 = 4^{2+2} = 4^4$.

Подставим это значение в уравнение:

$4^x = 4^4$.

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 4$.

Ответ: $4$.

3) Исходное уравнение: $2^x = \frac{1}{32}$.

Приведем правую часть уравнения к основанию 2. Сначала представим число 32 в виде степени с основанием 2:

$32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2^4 = 2^5$.

Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.

Уравнение принимает вид:

$2^x = 2^{-5}$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = -5$.

Ответ: $-5$.

4) Исходное уравнение: $5^{x+1} = 125$.

Приведем обе части уравнения к основанию 5. Представим число 125 в виде степени с основанием 5:

$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 = 5^3$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$5^{x+1} = 5^3$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x + 1 = 3$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 3 - 1$

$x = 2$.

Ответ: $2$.

23.2.1) $8^x = 16$;

2) $25^x = \frac{1}{5}$;

3) $4^{3-2x} = 4^{2-x}$;

4) $2^{x-2} = 1$.

1) Для решения показательного уравнения $8^x = 16$ необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $8$ и $16$ являются степенями числа $2$, а именно $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^3)^x = 2^4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть:

$2^{3x} = 2^4$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 4$

Решая это простое линейное уравнение, находим $x$:

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) Решим уравнение $25^x = \frac{1}{5}$. Приведем обе части к общему основанию $5$. Известно, что $25 = 5^2$ и по определению степени с отрицательным показателем $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Подставим это в уравнение:

$(5^2)^x = 5^{-1}$

Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ к левой части, получаем:

$5^{2x} = 5^{-1}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x = -1$

Отсюда находим $x$:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) В уравнении $4^{3-2x} = 4^{2-x}$ основания степеней в обеих частях уже равны (основание $4$). В таких случаях можно сразу приравнять показатели степеней:

$3 - 2x = 2 - x$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$3 - 2 = 2x - x$

$1 = x$

Ответ: $1$

4) Рассмотрим уравнение $2^{x-2} = 1$. Для его решения необходимо представить правую часть (число $1$) в виде степени с тем же основанием, что и в левой части (основание $2$). Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице, следовательно, $1 = 2^0$. Подставим это в уравнение:

$2^{x-2} = 2^0$

Поскольку основания степеней теперь равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 2 = 0$

Решая это уравнение, получаем:

$x = 2$

Ответ: $2$

23.3. 1) $2^x + 2^{x+1} = 12;$

2) $7^{x+2} - 7^x = 336;$

3) $3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} = 117;$

4) $5^{x-2} - 5^{x-1} + 5^x = 21.$

1) Решим уравнение $2^x + 2^{x+1} = 12$.

Для начала преобразуем слагаемое $2^{x+1}$, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2^x + 2 \cdot 2^x = 12$.

Теперь вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 2) = 12$.

Упростим выражение в скобках:

$2^x \cdot 3 = 12$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^x = \frac{12}{3} = 4$.

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^2$.

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$x = 2$.

Ответ: 2

2) Решим уравнение $7^{x+2} - 7^x = 336$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования $7^{x+2}$:

$7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$49 \cdot 7^x - 7^x = 336$.

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(49 - 1) = 336$.

Упростим выражение в скобках:

$7^x \cdot 48 = 336$.

Разделим обе части уравнения на 48:

$7^x = \frac{336}{48} = 7$.

Представим число 7 в виде степени с основанием 7:

$7^x = 7^1$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = 1$.

Ответ: 1

3) Решим уравнение $3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} = 117$.

Применим свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ ко второму и третьему слагаемым:

$3^x + 3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^2 = 117$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(1 + 3^1 + 3^2) = 117$.

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^x(1 + 3 + 9) = 117$.

$3^x \cdot 13 = 117$.

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^x = \frac{117}{13} = 9$.

Представим 9 в виде степени с основанием 3:

$3^x = 3^2$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 2$.

Ответ: 2

4) Решим уравнение $5^{x-2} - 5^{x-1} + 5^x = 21$.

Преобразуем все слагаемые так, чтобы вынести за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $5^{x-2}$. Для этого используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$.

$5^{x-1} = 5^{(x-2)+1} = 5^{x-2} \cdot 5^1$.

$5^x = 5^{(x-2)+2} = 5^{x-2} \cdot 5^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$5^{x-2} - 5^{x-2} \cdot 5^1 + 5^{x-2} \cdot 5^2 = 21$.

Вынесем общий множитель $5^{x-2}$ за скобки:

$5^{x-2}(1 - 5^1 + 5^2) = 21$.

Вычислим значение в скобках:

$5^{x-2}(1 - 5 + 25) = 21$.

$5^{x-2} \cdot 21 = 21$.

Разделим обе части уравнения на 21:

$5^{x-2} = 1$.

Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому представим 1 как $5^0$:

$5^{x-2} = 5^0$.

Приравниваем показатели степеней при равных основаниях:

$x - 2 = 0$.

$x = 2$.

Ответ: 2

23.4.1) $3^{2x+1} = 9^{2x};$

2) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0;$

3) $2 \cdot 9^x - 3^{x+1} - 9 = 0;$

4) $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 = 0.$

1) Исходное уравнение: $3^{2x+1} = 9^{2x}$.

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае, это основание $3$.

Представим $9$ как степень $3$: $9 = 3^2$.

Подставим это в уравнение: $3^{2x+1} = (3^2)^{2x}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим правую часть: $3^{2x+1} = 3^{4x}$.

Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x + 1 = 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$1 = 4x - 2x$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Ответ: $x = 0.5$.

2) Исходное уравнение: $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0$.

Данное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид: $2t^2 - 3t - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$ для корня $t_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

3) Исходное уравнение: $2 \cdot 9^x - 3^{x+1} - 9 = 0$.

Приведем все степени к основанию $3$. Используем свойства степеней: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x - 9 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 3t - 9 = 0$.

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.

$t_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3+9}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$t_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3-9}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.

Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 3$:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

4) Исходное уравнение: $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 = 0$.

Это уравнение также сводится к квадратному. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 25 = 0$.

Сделаем замену $t = 5^x$, при условии $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 26t + 25 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, его корни легко находятся по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 26$

$t_1 \cdot t_2 = 25$

Отсюда следует, что $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $5^x = t_1 \Rightarrow 5^x = 1$. Так как любое число в степени $0$ равно $1$, то $5^x = 5^0$, откуда $x = 0$.

2) $5^x = t_2 \Rightarrow 5^x = 25$. Так как $25 = 5^2$, то $5^x = 5^2$, откуда $x = 2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

Решите системы уравнений (23.5–23.6):

23.5.1)

$\begin{cases} 5^x + 5^y = 30, \\ 5^x - 5^y = 20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2^x + 2^y = 12, \\ x - y = 1; \end{cases}$

1)

$ \begin{cases} 5^x + 5^y = 30, \\ 5^x - 5^y = 20 \end{cases} $

Данная система является системой линейных уравнений относительно выражений $5^x$ и $5^y$. Решим ее методом алгебраического сложения.

Сложим почленно первое и второе уравнения, чтобы найти $x$:

$(5^x + 5^y) + (5^x - 5^y) = 30 + 20$

$2 \cdot 5^x = 50$

$5^x = 25$

Так как $25 = 5^2$, получаем:

$5^x = 5^2$

$x = 2$

Теперь вычтем почленно из первого уравнения второе, чтобы найти $y$:

$(5^x + 5^y) - (5^x - 5^y) = 30 - 20$

$2 \cdot 5^y = 10$

$5^y = 5$

Так как $5 = 5^1$, получаем:

$5^y = 5^1$

$y = 1$

Ответ: $(2; 1)$.

2)

$ \begin{cases} 2^x + 2^y = 12, \\ x - y = 1 \end{cases} $

Решим данную систему методом подстановки.

Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$2^{y+1} + 2^y = 12$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^y \cdot 2^1 + 2^y = 12$

Вынесем общий множитель $2^y$ за скобки:

$2^y(2 + 1) = 12$

$3 \cdot 2^y = 12$

$2^y = \frac{12}{3}$

$2^y = 4$

Так как $4 = 2^2$, получаем:

$2^y = 2^2$

$y = 2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение $x = y + 1$:

$x = 2 + 1 = 3$

Ответ: $(3; 2)$.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3 \cdot 2^x + 2 \cdot 3^y = 12 \\ 2^x - 3^y = -1 \end{cases} $

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$. Поскольку значения показательных функций всегда положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид системы линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3a + 2b = 12 \\ a - b = -1 \end{cases} $

Решим полученную систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $a$:

$a = b - 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(b - 1) + 2b = 12$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $b$:

$3b - 3 + 2b = 12$

$5b = 15$

$b = 3$

Теперь найдем значение $a$:

$a = 3 - 1 = 2$

Значения $a=2$ и $b=3$ удовлетворяют условиям $a>0$ и $b>0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$2^x = a \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1$

$3^y = b \Rightarrow 3^y = 3 \Rightarrow 3^y = 3^1 \Rightarrow y = 1$

Проверим найденное решение $(1, 1)$ подстановкой в исходную систему:

$3 \cdot 2^1 + 2 \cdot 3^1 = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$

$2^1 - 3^1 = 2 - 3 = -1$

Оба равенства верны.

Ответ: $(1, 1)$

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 32 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, приведя все степени к одному основанию — 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.

Подставим эти значения в первое уравнение:

$2^x \cdot (2^2)^y = 2^5$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^x \cdot 2^{2y} = 2^5$

Далее, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:

$2^{x+2y} = 2^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x + 2y = 5$

Теперь исходная система эквивалентна системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = y + 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 2) + 2y = 5$

$3y + 2 = 5$

$3y = 3$

$y = 1$

Теперь найдем $x$:

$x = 1 + 2 = 3$

Проверим найденное решение $(3, 1)$ подстановкой в исходную систему:

$2^3 \cdot 4^1 = 8 \cdot 4 = 32$

$3 - 1 = 2$

Оба равенства верны.

Ответ: $(3, 1)$

Решите уравнения (23.7-23.9):

23.7.1) $(0,1)^{4x^2-2x-2} = (0,1)^{2x-3};$

2) $(0,3)^{x^2-2x+2} = 0,09;$

3) $2^{2x+2} - 2^{2x+3} - 2^{2x+4} = 5^{x+1} - 5^{x+2};$

4) $3^{x+2} - 7^{x+2} = 0.$

1) $(0,1)^{4x^2-2x-2} = (0,1)^{2x-3}$

Данное уравнение является показательным. Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны (0,1), мы можем приравнять их показатели:

$4x^2 - 2x - 2 = 2x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 2x - 2 - 2x + 3 = 0$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 0$

$(2x - 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $(0,3)^{x^2-2x+2} = 0,09$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Представим число 0,09 в виде степени с основанием 0,3:

$0,09 = \frac{9}{100} = (\frac{3}{10})^2 = (0,3)^2$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$(0,3)^{x^2-2x+2} = (0,3)^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 2x + 2 = 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$x^2 - 2x + 2 - 2 = 0$

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x-2 = 0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

3) $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} = 5^{x+1} - 5^{x+2}$

Преобразуем обе части уравнения, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Вынесем общий множитель за скобки в каждой части.

Левая часть:

$2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} = 2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 = 2^x(4 - 8 - 16) = 2^x(-20)$

Правая часть:

$5^{x+1} - 5^{x+2} = 5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 = 5^x(5 - 25) = 5^x(-20)$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^x \cdot (-20) = 5^x \cdot (-20)$

Разделим обе части на -20 (поскольку $-20 \neq 0$):

$2^x = 5^x$

Разделим обе части уравнения на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ для любого $x$):

$\frac{2^x}{5^x} = 1$

$(\frac{2}{5})^x = 1$

Любое число в степени 0 равно 1. Таким образом:

$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

4) $3^{x+2} - 7^{x+2} = 0$

Перенесем слагаемое $7^{x+2}$ в правую часть уравнения:

$3^{x+2} = 7^{x+2}$

Поскольку показатели степеней одинаковы, а основания различны, равенство возможно только в одном случае. Разделим обе части уравнения на $7^{x+2}$ (это возможно, так как $7^{x+2} \neq 0$):

$\frac{3^{x+2}}{7^{x+2}} = 1$

Используем свойство частного степеней $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(\frac{3}{7})^{x+2} = 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{7}$:

$(\frac{3}{7})^{x+2} = (\frac{3}{7})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x+2 = 0$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.