Номер 23.3, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.3. 1) $2^x + 2^{x+1} = 12;$

2) $7^{x+2} - 7^x = 336;$

3) $3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} = 117;$

4) $5^{x-2} - 5^{x-1} + 5^x = 21.$

1) Решим уравнение $2^x + 2^{x+1} = 12$.

Для начала преобразуем слагаемое $2^{x+1}$, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2^x + 2 \cdot 2^x = 12$.

Теперь вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 2) = 12$.

Упростим выражение в скобках:

$2^x \cdot 3 = 12$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^x = \frac{12}{3} = 4$.

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^2$.

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$x = 2$.

Ответ: 2

2) Решим уравнение $7^{x+2} - 7^x = 336$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования $7^{x+2}$:

$7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$49 \cdot 7^x - 7^x = 336$.

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(49 - 1) = 336$.

Упростим выражение в скобках:

$7^x \cdot 48 = 336$.

Разделим обе части уравнения на 48:

$7^x = \frac{336}{48} = 7$.

Представим число 7 в виде степени с основанием 7:

$7^x = 7^1$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = 1$.

Ответ: 1

3) Решим уравнение $3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} = 117$.

Применим свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ ко второму и третьему слагаемым:

$3^x + 3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^2 = 117$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(1 + 3^1 + 3^2) = 117$.

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^x(1 + 3 + 9) = 117$.

$3^x \cdot 13 = 117$.

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^x = \frac{117}{13} = 9$.

Представим 9 в виде степени с основанием 3:

$3^x = 3^2$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 2$.

Ответ: 2

4) Решим уравнение $5^{x-2} - 5^{x-1} + 5^x = 21$.

Преобразуем все слагаемые так, чтобы вынести за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $5^{x-2}$. Для этого используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$.

$5^{x-1} = 5^{(x-2)+1} = 5^{x-2} \cdot 5^1$.

$5^x = 5^{(x-2)+2} = 5^{x-2} \cdot 5^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$5^{x-2} - 5^{x-2} \cdot 5^1 + 5^{x-2} \cdot 5^2 = 21$.

Вынесем общий множитель $5^{x-2}$ за скобки:

$5^{x-2}(1 - 5^1 + 5^2) = 21$.

Вычислим значение в скобках:

$5^{x-2}(1 - 5 + 25) = 21$.

$5^{x-2} \cdot 21 = 21$.

Разделим обе части уравнения на 21:

$5^{x-2} = 1$.

Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому представим 1 как $5^0$:

$5^{x-2} = 5^0$.

Приравниваем показатели степеней при равных основаниях:

$x - 2 = 0$.

$x = 2$.

Ответ: 2