Номер 16, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16. Четыре ученика — Марат, Даурен, Азамат и Сергей — заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:

1) Даурен — второе, Марат — третье;

2) Сергей — второе, Даурен — первое;

3) Азамат — второе, Марат — четвертое.

Какое место занял каждый из них, если в каждом ответе правильной оказалась лишь одна часть:

A) Марат занял III место, Азамат — II, Даурен — I и Сергей — IV место.

B) Марат занял III место, Азамат — I место, Даурен — II и Сергей — IV место.

C) Марат занял IV место, Азамат — I место, Даурен — II и Сергей — III место.

D) Марат занял III место, Азамат — I место, Даурен IV и Сергей — II место.

E) Марат занял IV место, Азамат — II место, Даурен — I и Сергей — III место?

Для решения этой логической задачи проанализируем каждое из трёх утверждений, исходя из условия, что в каждом из них одна часть истинна ($И$), а другая — ложна ($Л$).

Утверждения, которые были даны:

1) Даурен — второе место ($II$), Марат — третье место ($III$).

2) Сергей — второе место ($II$), Даурен — первое место ($I$).

3) Азамат — второе место ($II$), Марат — четвертое место ($IV$).

Ключевым для анализа является второе место, так как оно упоминается во всех трех утверждениях. Рассуждать будем методом от противного.

Предположим, что Даурен занял второе место.

Если «Даурен = II» является истиной, то:

• Из утверждения 1 следует, что «Марат = III» должно быть ложью.

• Из утверждения 2 следует, что «Сергей = II» должно быть ложью, так как второе место уже занято Дауреном. Следовательно, вторая часть этого утверждения, «Даурен = I», должна быть истиной.

В результате мы получаем противоречие: Даурен не может одновременно занимать первое и второе места. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Таким образом, утверждение «Даурен занял второе место» является ложным.

Зная, что «Даурен = II» — это ложь, сделаем следующие выводы:

1) В первом утверждении, поскольку «Даурен — второе место» — это ложь, вторая часть «Марат — третье место» должна быть истиной. Следовательно, Марат занял III место.

3) В третьем утверждении, зная, что Марат занял III место, часть «Марат — четвертое место» является ложью. Следовательно, первая часть «Азамат — второе место» должна быть истиной. Следовательно, Азамат занял II место.

2) Во втором утверждении, зная, что Азамат занял II место, часть «Сергей — второе место» является ложью. Следовательно, вторая часть «Даурен — первое место» должна быть истиной. Следовательно, Даурен занял I место.

Осталось определить место Сергея. Поскольку I, II и III места заняты Дауреном, Азаматом и Маратом соответственно, то для Сергея остается IV место.

Итоговое распределение мест выглядит так:

• Даурен — I место

• Азамат — II место

• Марат — III место

• Сергей — IV место

Данное распределение полностью совпадает с вариантом ответа А.

Проверим решение, подставив результаты в исходные утверждения:

1) «Даурен – второе» (Ложь, он первый), «Марат – третье» (Истина). → Условие выполнено.

2) «Сергей – второе» (Ложь, он четвертый), «Даурен – первое» (Истина). → Условие выполнено.

3) «Азамат – второе» (Истина), «Марат – четвертое» (Ложь, он третий). → Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены, решение верное.

Ответ: A) Марат занял III место, Азамат – II, Даурен – I и Сергей – IV место.