Номер 10, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10. Найдите точки экстремума функции $y = 0,5x^2 - 6x + 2\ln x^4$:

A) $x_{\max} = 4, x_{\min} = 2;$

B) не имеет точек экстремума;

C) $x_{\max} = 2, x_{\min} = 4;$

D) $x_{\max} = 1, x_{\min} = 8.$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Это будут стационарные точки. Затем нужно исследовать знак производной в окрестности этих точек, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума.

1. Найдем область определения функции.

Исходная функция: $y = 0,5x^2 - 6x + 2\ln{x^4}$.

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x^4 > 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Таким образом, область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию и найдем ее производную.

Используем свойство логарифма $\ln{a^b} = b\ln{a}$. Поскольку $x^4 = (|x|)^4$, мы можем записать $2\ln{x^4} = 2 \cdot 4\ln|x| = 8\ln|x|$.

Функция принимает вид: $y = 0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|$.

Теперь найдем производную функции $y'$:

$y' = (0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|)' = (0,5x^2)' - (6x)' + (8\ln|x|)'$.

Производная от $\ln|x|$ равна $\frac{1}{x}$.

$y' = 0,5 \cdot 2x - 6 + 8 \cdot \frac{1}{x} = x - 6 + \frac{8}{x}$.

3. Найдем стационарные (критические) точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$x - 6 + \frac{8}{x} = 0$.

Так как $x \ne 0$, умножим обе части уравнения на $x$:

$x^2 - 6x + 8 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Оба корня принадлежат области определения функции.

4. Определим характер точек экстремума.

Исследуем знак производной $y' = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}$ на интервалах, на которые область определения разбивается стационарными точками.

Интервалы: $(0; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$. (Интервал $(-\infty; 0)$ также существует, но предложенные ответы содержат только положительные значения $x$).

• Возьмем точку из интервала $(0; 2)$, например, $x=1$.

  $y'(1) = 1 - 6 + \frac{8}{1} = 3 > 0$. Функция возрастает на этом интервале.

• Возьмем точку из интервала $(2; 4)$, например, $x=3$.

  $y'(3) = 3 - 6 + \frac{8}{3} = -3 + \frac{8}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. Функция убывает на этом интервале.

• Возьмем точку из интервала $(4; +\infty)$, например, $x=5$.

  $y'(5) = 5 - 6 + \frac{8}{5} = -1 + \frac{8}{5} = \frac{3}{5} > 0$. Функция возрастает на этом интервале.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 4$.

Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: C) $x_{max} = 2, x_{min} = 4$.