Номер 11, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11. Вычислите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 e^x$ на отрезке $[-1; 2]$:

A) $4e^2; \frac{1}{e};$

B) $\frac{1}{e}; 0;$

C) $e; 0;$

D) $4e^2; 0.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^2e^x$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u=x^2$ и $v=e^x$, получаем:

$y' = (x^2e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$2xe^x + x^2e^x = 0$

Вынесем общий множитель $xe^x$ за скобки:

$xe^x(2 + x) = 0$.

Поскольку $e^x$ всегда больше нуля, то равенство выполняется, если $x=0$ или $2+x=0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Теперь нужно проверить, какие из этих точек принадлежат заданному отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Таким образом, нам нужно сравнить значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка: $x = -1$ и $x = 2$.

Вычислим эти значения:

При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.

При $x = 0$: $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.

При $x = 2$: $y(2) = 2^2 \cdot e^2 = 4e^2$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{1}{e}$, $0$ и $4e^2$.

Наибольшее из этих значений — $4e^2$.

Наименьшее из этих значений — $0$.

Итак, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно $4e^2$, а наименьшее — $0$. В вариантах ответа это соответствует паре $4e^2; 0$.

Ответ: $4e^2; 0$.