Номер 4, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4. Найдите область определения функции $y = \log_{3.4} (-2x^2 + 3x - 1):$

A) $(-1; -0.5);$

B) $(-\infty; 0.5) \cup (1; +\infty);$

C) $(0.5; 1);$

D) $(-\infty; 0.5] \cup [1; +\infty).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_{a}f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, а основание должно быть положительным и не равным единице.

В нашем случае дана функция $y = \log_{3.4}(-2x^2 + 3x - 1)$.

Основание логарифма $a = 3.4$. Оно удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, так как $3.4 > 0$ и $3.4 \neq 1$.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$-2x^2 + 3x - 1 > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 + 3x - 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь вернемся к исходному неравенству $-2x^2 + 3x - 1 > 0$. Графиком функции $f(x) = -2x^2 + 3x - 1$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось $x$ в точках $x = 0.5$ и $x = 1$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции будут положительными (больше нуля) на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(0.5; 1)$. Это и есть область определения исходной функции.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом C.

Ответ: C) $(0,5; 1)$