Страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.23. Найдите значение выражения:

1) $4^{1 - \log_2 1.5 - \log_2 \frac{1}{3}} - \log_3 243$;

2) $\log_9 27 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3}.$

1) $4^{1 - \log_2 1.5 - \log_2 \frac{1}{3}} - \log_3 243$

Решим выражение по частям. Сначала упростим показатель степени первого слагаемого, используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$1 - \log_2 1.5 - \log_2 \frac{1}{3} = 1 - (\log_2 1.5 + \log_2 \frac{1}{3}) = 1 - \log_2 (1.5 \cdot \frac{1}{3}) = 1 - \log_2 (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}) = 1 - \log_2 (\frac{1}{2})$

Так как $\log_2 (\frac{1}{2}) = \log_2 2^{-1} = -1$, то показатель степени равен:

$1 - (-1) = 2$

Теперь вычислим значение первого слагаемого:

$4^2 = 16$

Далее вычислим второе слагаемое, $\log_3 243$. Найдём, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 243:

$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243$.

Следовательно, $\log_3 243 = 5$.

Наконец, найдем разность полученных значений:

$16 - 5 = 11$

Ответ: 11

2) $\log_9 27 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности. Для второго и третьего слагаемых воспользуемся свойством логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$, которое следует из формулы перехода к новому основанию.

Первое слагаемое: $\log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2}$.

Второе слагаемое: $\frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} = \log_3 6 \cdot \frac{1}{\log_{18} 3} = \log_3 6 \cdot \log_3 18$.

Третье слагаемое: $\frac{\log_3 2}{\log_{54} 3} = \log_3 2 \cdot \frac{1}{\log_{54} 3} = \log_3 2 \cdot \log_3 54$.

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$\frac{3}{2} + \log_3 6 \cdot \log_3 18 - \log_3 2 \cdot \log_3 54$

Разложим логарифмы, используя свойство $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_3 6 = \log_3(2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1$

$\log_3 18 = \log_3(2 \cdot 9) = \log_3 2 + \log_3 9 = \log_3 2 + 2$

$\log_3 54 = \log_3(2 \cdot 27) = \log_3 2 + \log_3 27 = \log_3 2 + 3$

Для удобства введем замену $x = \log_3 2$. Подставим это в выражение:

$\frac{3}{2} + (x+1)(x+2) - x(x+3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\frac{3}{2} + (x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 3x) = \frac{3}{2} + (x^2 + 3x + 2) - x^2 - 3x$

Сократим подобные слагаемые ($x^2$ и $3x$):

$\frac{3}{2} + 2$

Вычислим окончательное значение:

$\frac{3}{2} + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$

Ответ: 3,5

22.24. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

1) $f(x) = (3x - 1)^2 - 2\sqrt{x^5}, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 6x^{\frac{7}{3}} - 5\sqrt[5]{x^2} - 3x + 1, x_0 = 1.$

1) Дана функция $f(x) = (3x - 1)² - 2\sqrt{x^5}$ и точка $x_0 = 1$.

Для того чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции $f'(x)$.

Перепишем функцию, используя степенные показатели: $f(x) = (3x - 1)^2 - 2x^{5/2}$.

Найдем производную первого слагаемого, используя правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$:

$((3x - 1)^2)' = 2 \cdot (3x - 1)^{2-1} \cdot (3x - 1)' = 2(3x - 1) \cdot 3 = 18x - 6$.

Найдем производную второго слагаемого, используя правило дифференцирования степенной функции $(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$:

$(-2x^{5/2})' = -2 \cdot \frac{5}{2} \cdot x^{\frac{5}{2}-1} = -5x^{3/2}$.

Таким образом, производная всей функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 18x - 6 - 5x^{3/2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 18 \cdot 1 - 6 - 5 \cdot (1)^{3/2} = 18 - 6 - 5 \cdot 1 = 12 - 5 = 7$.

Ответ: 7.

2) Дана функция $f(x) = 6x^{\frac{7}{3}} - 5\sqrt[5]{x^2} - 3x + 1$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим все слагаемые в виде степеней:

$f(x) = 6x^{7/3} - 5x^{2/5} - 3x^1 + 1$.

Найдем производную, дифференцируя каждый член функции по отдельности, используя правило $(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$:

$f'(x) = (6x^{7/3})' - (5x^{2/5})' - (3x)' + (1)'$

$f'(x) = 6 \cdot \frac{7}{3} \cdot x^{\frac{7}{3}-1} - 5 \cdot \frac{2}{5} \cdot x^{\frac{2}{5}-1} - 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} + 0$

$f'(x) = 14x^{\frac{4}{3}} - 2x^{-\frac{3}{5}} - 3$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 14 \cdot (1)^{4/3} - 2 \cdot (1)^{-3/5} - 3$.

Поскольку любое число 1 в любой степени равно 1, получаем:

$f'(1) = 14 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 3 = 14 - 2 - 3 = 9$.

Ответ: 9.

1. Найдите область определения функции $y = \frac{x+2}{343 - 49^x}$:

A) $(-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty);$

B) $(-\infty; 1,5) \cup (1,5; 2) \cup (2; +\infty);$

C) $R;$

D) $(-\infty; -1,5) \cup (-1,5; +\infty).$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение функции имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x + 2}{343 - 49^x}$ является дробью. Основное ограничение для дробей заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю.

Следовательно, мы должны найти значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из области определения. Составим и решим уравнение:$343 - 49^x = 0$

Перенесем $49^x$ в правую часть уравнения:$343 = 49^x$

Для решения этого показательного уравнения представим обе его части в виде степени с одинаковым основанием. Заметим, что и 343, и 49 являются степенями числа 7:$343 = 7^3$$49 = 7^2$

Подставим эти значения в уравнение:$7^3 = (7^2)^x$

Согласно свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы можем упростить правую часть:$7^3 = 7^{2x}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:$3 = 2x$

Отсюда находим $x$:$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, при $x = 1,5$ знаменатель дроби обращается в ноль, и функция в этой точке не определена. Областью определения функции являются все действительные числа, кроме $x = 1,5$.В виде объединения интервалов это записывается как $(-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

2. Вычислите $log_{1,2} \left[ \frac{25}{36} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{3,2} \right]:$

A) $-1,2;$

B) $1,2;$

C) $-\frac{5}{6};$

D) $-5,2.$

Для вычисления значения выражения $ \log_{1.2} \left[ \frac{25}{36} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{3.2} \right] $ выполним следующие преобразования.

Сначала представим основание логарифма $1.2$ в виде обыкновенной дроби: $ 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $.

Далее упростим выражение, находящееся под знаком логарифма. Для этого представим множитель $ \frac{25}{36} $ в виде степени с основанием $ \frac{6}{5} $.

$ \frac{25}{36} = \frac{5^2}{6^2} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 $.

Так как $ \frac{5}{6} $ является обратной дробью к $ \frac{6}{5} $, мы можем записать: $ \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \left( \left(\frac{6}{5}\right)^{-1} \right)^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^{-2} $.

Теперь все выражение под логарифмом можно записать как произведение степеней с одинаковым основанием:$ \left(\frac{6}{5}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{3.2} $.

Используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, складываем показатели:$ \left(\frac{6}{5}\right)^{-2 + 3.2} = \left(\frac{6}{5}\right)^{1.2} $.

Таким образом, исходное логарифмическое выражение сводится к следующему:$ \log_{1.2} \left( \left(\frac{6}{5}\right)^{1.2} \right) = \log_{\frac{6}{5}} \left( \left(\frac{6}{5}\right)^{1.2} \right) $.

Согласно основному свойству логарифма $ \log_a(a^x) = x $, значение этого выражения равно показателю степени, то есть $1.2$.

Ответ: 1,2.

3. Упростите выражение $(\frac{1}{625})^{-\log_5 a} - 49^{1+\log_7 a}$.

A) $49a^2 - a^4$;

B) $a^2 - 49a^4$;

C) $a^4 - 49a^2$;

D) $a^4 + 49a^2$.

Для упрощения выражения $(\frac{1}{625})^{-\log_5 a} - 49^{1+\log_7 a}$ преобразуем каждый член выражения по отдельности.

1. Упрощение первого члена $(\frac{1}{625})^{-\log_5 a}$

Сначала представим основание степени $\frac{1}{625}$ в виде степени числа 5. Мы знаем, что $625 = 5^4$, следовательно, $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.

Подставим это значение в первый член:

$(\frac{1}{625})^{-\log_5 a} = (5^{-4})^{-\log_5 a}$

Воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(5^{-4})^{-\log_5 a} = 5^{(-4) \cdot (-\log_5 a)} = 5^{4\log_5 a}$

Далее применим свойство логарифма $k \cdot \log_b c = \log_b (c^k)$:

$5^{4\log_5 a} = 5^{\log_5(a^4)}$

Используя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b c} = c$, получаем:

$5^{\log_5(a^4)} = a^4$

2. Упрощение второго члена $49^{1+\log_7 a}$

Используем свойство степени $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$:

$49^{1+\log_7 a} = 49^1 \cdot 49^{\log_7 a}$

Представим число 49 как степень числа 7: $49 = 7^2$.

$49 \cdot (7^2)^{\log_7 a}$

Снова применим свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$49 \cdot 7^{2 \cdot \log_7 a}$

Используя свойство логарифма $k \cdot \log_b c = \log_b (c^k)$:

$49 \cdot 7^{\log_7(a^2)}$

По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b c} = c$:

$49 \cdot a^2 = 49a^2$

3. Конечное выражение

Теперь объединим упрощенные части. Вычтем из первого упрощенного члена второй:

$a^4 - 49a^2$

Ответ: $a^4 - 49a^2$

4. Найдите область определения функции $y = \log_{3.4} (-2x^2 + 3x - 1):$

A) $(-1; -0.5);$

B) $(-\infty; 0.5) \cup (1; +\infty);$

C) $(0.5; 1);$

D) $(-\infty; 0.5] \cup [1; +\infty).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_{a}f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, а основание должно быть положительным и не равным единице.

В нашем случае дана функция $y = \log_{3.4}(-2x^2 + 3x - 1)$.

Основание логарифма $a = 3.4$. Оно удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, так как $3.4 > 0$ и $3.4 \neq 1$.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$-2x^2 + 3x - 1 > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 + 3x - 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь вернемся к исходному неравенству $-2x^2 + 3x - 1 > 0$. Графиком функции $f(x) = -2x^2 + 3x - 1$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось $x$ в точках $x = 0.5$ и $x = 1$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции будут положительными (больше нуля) на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(0.5; 1)$. Это и есть область определения исходной функции.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом C.

Ответ: C) $(0,5; 1)$

5. Расположите числа $ (\frac{1}{2})^{-4} $; $1$; $ 4^{-\sqrt{3}} $; $8$ в порядке возрастания:

A) $ 4^{-\sqrt{3}} $; $8$; $1$; $ (\frac{1}{2})^{-4} $;

B) $ (\frac{1}{2})^{-4} $; $ 4^{-\sqrt{3}} $; $1$; $8$;

C) $8$; $1$; $ 4^{-\sqrt{3}} $; $ (\frac{1}{2})^{-4} $;

D) $ 4^{-\sqrt{3}} $; $1$; $8$; $ (\frac{1}{2})^{-4} $.

Для того чтобы расположить заданные числа в порядке возрастания, мы преобразуем их таким образом, чтобы их можно было легко сравнить. Удобнее всего привести все числа, которые являются степенями, к одному основанию. В данном случае подходящим основанием является число 2.

1. Рассмотрим число $(\frac{1}{2})^{-4}$.

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получим:$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$.

Также можно использовать свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a=2^{-1}$:$(\frac{1}{2})^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^{(-1) \cdot (-4)} = 2^4 = 16$.

2. Рассмотрим число $1$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Представим 1 в виде степени с основанием 2:$1 = 2^0$.

3. Рассмотрим число $4^{-\sqrt{3}}$.

Представим основание 4 как степень числа 2: $4 = 2^2$. Затем воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:$4^{-\sqrt{3}} = (2^2)^{-\sqrt{3}} = 2^{-2\sqrt{3}}$.

4. Рассмотрим число $8$.

Представим 8 как степень числа 2:$8 = 2^3$.

Теперь мы имеем следующий набор чисел, представленных в виде степеней с одинаковым основанием 2:

• $(\frac{1}{2})^{-4} = 2^4$
• $1 = 2^0$
• $4^{-\sqrt{3}} = 2^{-2\sqrt{3}}$
• $8 = 2^3$

Для сравнения этих чисел достаточно сравнить их показатели степени, так как основание $2 > 1$, и показательная функция $y = 2^x$ является возрастающей (т.е. большему значению показателя соответствует большее значение степени).

Сравним показатели: $4$, $0$, $-2\sqrt{3}$ и $3$.

• Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $-2\sqrt{3} \approx -2 \cdot 1.732 = -3.464$. Это единственное отрицательное значение, следовательно, оно наименьшее.
• Далее идет $0$.
• Затем $3$.
• И самое большое значение — $4$.

Это означает, что и сами числа, соответствующие этим показателям, располагаются в том же порядке:$2^{-2\sqrt{3}} < 2^0 < 2^3 < 2^4$.

Теперь вернемся к исходным выражениям:$4^{-\sqrt{3}} < 1 < 8 < (\frac{1}{2})^{-4}$.

Среди предложенных вариантов ответов этот порядок соответствует варианту D.

Ответ: D) $4^{-\sqrt{3}}; 1; 8; (\frac{1}{2})^{-4}$.

6. Дано: $log_{22} 9 = a$ и $log_{22} 46 = b$. Найдите $log_{81} 414$:

A) $\frac{a+b}{2a}$;

B) $\frac{a+b}{2b}$;

C) $\frac{b-a}{2b}$;

D) $\frac{a+b}{b}$.

По условию задачи дано: $log_{22} 9 = a$ и $log_{22} 46 = b$.

Требуется найти $log_{81} 414$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_c x = \frac{log_d x}{log_d c}$.

Целесообразно перейти к основанию 22, так как значения логарифмов по этому основанию нам известны.

$log_{81} 414 = \frac{log_{22} 414}{log_{22} 81}$

Теперь необходимо выразить числитель и знаменатель этой дроби через $a$ и $b$.

Преобразуем числитель: $log_{22} 414$.

Разложим число 414 на множители. Можно заметить, что $414 = 9 \times 46$.

Применим свойство логарифма произведения: $log_z(xy) = log_z x + log_z y$.

$log_{22} 414 = log_{22}(9 \times 46) = log_{22} 9 + log_{22} 46$

Согласно условию, $log_{22} 9 = a$ и $log_{22} 46 = b$. Таким образом, числитель равен:

$a + b$

Преобразуем знаменатель: $log_{22} 81$.

Представим число 81 как степень числа 9: $81 = 9^2$.

Применим свойство логарифма степени: $log_z(x^p) = p \cdot log_z x$.

$log_{22} 81 = log_{22}(9^2) = 2 \cdot log_{22} 9$

Согласно условию, $log_{22} 9 = a$. Таким образом, знаменатель равен:

$2a$

Подставим полученные значения в исходное выражение.

$log_{81} 414 = \frac{log_{22} 414}{log_{22} 81} = \frac{a + b}{2a}$

Полученный результат совпадает с вариантом ответа А.

Ответ: A) $\frac{a + b}{2a}$

7. Найдите значение производной функции $y = \log_{7}(\cos2x)$ при $x = \frac{\pi}{8}:

A) $-\frac{2}{\ln 7};$

B) $\frac{2}{\ln 7};$

C) $-\frac{2\sqrt{2}}{\ln 7};$

D) $2\ln 7.$

Чтобы найти значение производной функции $y = \log_7(\cos(2x))$ при $x = \frac{\pi}{8}$, необходимо сначала найти общую формулу для производной $y'$, а затем подставить в нее указанное значение $x$.

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной будем использовать цепное правило дифференцирования. Функция состоит из трех вложенных функций: внешней $f(u) = \log_7(u)$, средней $u(v) = \cos(v)$ и внутренней $v(x) = 2x$.

Производная сложной функции $y(x) = f(u(v(x)))$ находится по формуле:

$y' = f'(u) \cdot u'(v) \cdot v'(x)$.

Найдем производные каждой из функций:

1. Производная логарифмической функции с основанием $a$: $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a}$. В нашем случае $a=7$, поэтому производная внешней функции: $(\log_7 u)' = \frac{1}{u \ln 7}$.

2. Производная косинуса: $(\cos v)' = -\sin v$.

3. Производная линейной функции: $(2x)' = 2$.

Теперь, применяя цепное правило, соберем производную исходной функции:

$y' = (\log_7(\cos(2x)))' = \frac{1}{\cos(2x) \cdot \ln 7} \cdot (\cos(2x))'$

Производная от $\cos(2x)$ также находится по цепному правилу: $(\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Подставляем это в выражение для $y'$:

$y' = \frac{1}{\cos(2x) \ln 7} \cdot (-2\sin(2x)) = -\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x) \ln 7}$.

Мы можем упростить это выражение, используя тригонометрическое тождество $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$y' = -\frac{2}{\ln 7} \tan(2x)$.

Теперь подставим значение $x = \frac{\pi}{8}$ в полученное выражение для производной:

$y'(\frac{\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \tan(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \tan(\frac{2\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \tan(\frac{\pi}{4})$.

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) равно 1: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, значение производной в указанной точке:

$y'(\frac{\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \cdot 1 = -\frac{2}{\ln 7}$.

Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: $-\frac{2}{\ln 7}$.