Страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15. Вкладчик решил положить в банк на депозит 100 000 тенге. Известно, что в первом банке вклад возрастает один раз в год на 12%, а во втором он возрастает ежемесячно на 1% от находящейся на депозите суммы. В каком из банков доход будет больше и на сколько:

A) в первом банке больше на 680 тг;

B) в первом банке больше на 775 тг;

C) в обоих банках доход одинаков;

D) во втором банке больше примерно на 682 тг;

E) во втором банке больше примерно на 648 тг?

Для решения этой задачи нужно рассчитать годовой доход для каждого из двух банковских вкладов и сравнить их.

Расчет дохода для первого банка

В первом банке предлагается годовая ставка 12% с начислением один раз в год. Это расчет по формуле простых процентов (для периода в один год).

Начальная сумма вклада $P = 100000$ тенге.

Годовая процентная ставка $r = 12\% = 0,12$.

Сумма на вкладе через год ($S_1$) будет равна:

$S_1 = P \times (1 + r) = 100000 \times (1 + 0,12) = 100000 \times 1,12 = 112000$ тенге.

Доход ($Д_1$) за год в первом банке составит:

$Д_1 = S_1 - P = 112000 - 100000 = 12000$ тенге.

Расчет дохода для второго банка

Во втором банке предлагается ежемесячное начисление 1% на имеющуюся сумму. Это вклад с ежемесячной капитализацией процентов, поэтому используется формула сложных процентов.

Начальная сумма вклада $P = 100000$ тенге.

Месячная процентная ставка $i = 1\% = 0,01$.

Количество периодов начисления за год (количество месяцев) $n = 12$.

Сумма на вкладе через год ($S_2$) рассчитывается по формуле:

$S_2 = P \times (1 + i)^n = 100000 \times (1 + 0,01)^{12} = 100000 \times (1,01)^{12}$.

Вычислим $(1,01)^{12}$. Это можно сделать на калькуляторе:

$(1,01)^{12} \approx 1,12682503$.

Теперь рассчитаем итоговую сумму:

$S_2 \approx 100000 \times 1,12682503 = 112682,503$ тенге.

Доход ($Д_2$) за год во втором банке составит:

$Д_2 = S_2 - P \approx 112682,503 - 100000 = 12682,503$ тенге.

Сравнение доходов и вывод

Теперь сравним полученные доходы:

Доход в первом банке: $Д_1 = 12000$ тенге.

Доход во втором банке: $Д_2 \approx 12682,5$ тенге.

Доход во втором банке больше. Найдем, на сколько он больше:

$Разница = Д_2 - Д_1 \approx 12682,5 - 12000 = 682,5$ тенге.

Результат показывает, что доход во втором банке больше примерно на 682 тенге. Этот результат соответствует варианту ответа D.

Ответ: D) во втором банке больше примерно на 682 тг;

16. Четыре ученика — Марат, Даурен, Азамат и Сергей — заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:

1) Даурен — второе, Марат — третье;

2) Сергей — второе, Даурен — первое;

3) Азамат — второе, Марат — четвертое.

Какое место занял каждый из них, если в каждом ответе правильной оказалась лишь одна часть:

A) Марат занял III место, Азамат — II, Даурен — I и Сергей — IV место.

B) Марат занял III место, Азамат — I место, Даурен — II и Сергей — IV место.

C) Марат занял IV место, Азамат — I место, Даурен — II и Сергей — III место.

D) Марат занял III место, Азамат — I место, Даурен IV и Сергей — II место.

E) Марат занял IV место, Азамат — II место, Даурен — I и Сергей — III место?

Для решения этой логической задачи проанализируем каждое из трёх утверждений, исходя из условия, что в каждом из них одна часть истинна ($И$), а другая — ложна ($Л$).

Утверждения, которые были даны:

1) Даурен — второе место ($II$), Марат — третье место ($III$).

2) Сергей — второе место ($II$), Даурен — первое место ($I$).

3) Азамат — второе место ($II$), Марат — четвертое место ($IV$).

Ключевым для анализа является второе место, так как оно упоминается во всех трех утверждениях. Рассуждать будем методом от противного.

Предположим, что Даурен занял второе место.

Если «Даурен = II» является истиной, то:

• Из утверждения 1 следует, что «Марат = III» должно быть ложью.

• Из утверждения 2 следует, что «Сергей = II» должно быть ложью, так как второе место уже занято Дауреном. Следовательно, вторая часть этого утверждения, «Даурен = I», должна быть истиной.

В результате мы получаем противоречие: Даурен не может одновременно занимать первое и второе места. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Таким образом, утверждение «Даурен занял второе место» является ложным.

Зная, что «Даурен = II» — это ложь, сделаем следующие выводы:

1) В первом утверждении, поскольку «Даурен — второе место» — это ложь, вторая часть «Марат — третье место» должна быть истиной. Следовательно, Марат занял III место.

3) В третьем утверждении, зная, что Марат занял III место, часть «Марат — четвертое место» является ложью. Следовательно, первая часть «Азамат — второе место» должна быть истиной. Следовательно, Азамат занял II место.

2) Во втором утверждении, зная, что Азамат занял II место, часть «Сергей — второе место» является ложью. Следовательно, вторая часть «Даурен — первое место» должна быть истиной. Следовательно, Даурен занял I место.

Осталось определить место Сергея. Поскольку I, II и III места заняты Дауреном, Азаматом и Маратом соответственно, то для Сергея остается IV место.

Итоговое распределение мест выглядит так:

• Даурен — I место

• Азамат — II место

• Марат — III место

• Сергей — IV место

Данное распределение полностью совпадает с вариантом ответа А.

Проверим решение, подставив результаты в исходные утверждения:

1) «Даурен – второе» (Ложь, он первый), «Марат – третье» (Истина). → Условие выполнено.

2) «Сергей – второе» (Ложь, он четвертый), «Даурен – первое» (Истина). → Условие выполнено.

3) «Азамат – второе» (Истина), «Марат – четвертое» (Ложь, он третий). → Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены, решение верное.

Ответ: A) Марат занял III место, Азамат – II, Даурен – I и Сергей – IV место.

17. Известно, что функция $f(x)$ периодическая, с периодом $T = 4$ и $f(1) = 3$, $f(4) = 5$. Тогда значение выражения $2f(0) - 3f(9)$ равно:

A) 4; B) -1; C) -3; D) 2; E) 1.

По условию, функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции и для любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x + k \cdot T) = f(x)$.

Нам даны значения $f(1) = 3$ и $f(4) = 5$. Требуется найти значение выражения $2f(0) - 3f(9)$. Для этого необходимо сначала найти значения $f(0)$ и $f(9)$.

Нахождение $f(0)$

Используем свойство периодичности. Мы можем связать $f(0)$ с известным значением $f(4)$. При $x=0$ и $k=1$ получаем:

$f(0) = f(0 + 1 \cdot 4) = f(4)$.

Так как по условию $f(4) = 5$, следовательно, $f(0) = 5$.

Нахождение $f(9)$

Аналогично, используем свойство периодичности для нахождения $f(9)$. Представим аргумент $9$ в виде $x + k \cdot T$, используя известное значение при $x=1$.

$9 = 1 + 8 = 1 + 2 \cdot 4$.

Это соответствует случаю, когда $x=1$, $k=2$ и $T=4$.

Таким образом, $f(9) = f(1 + 2 \cdot 4) = f(1)$.

Так как по условию $f(1) = 3$, следовательно, $f(9) = 3$.

Вычисление значения выражения

Теперь подставим найденные значения $f(0)=5$ и $f(9)=3$ в исходное выражение:

$2f(0) - 3f(9) = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1$.

Ответ: 1.

18. Каждое простейшее животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320:

A) 3; B) 4; C) 6; D) 5; E) 7?

Пусть $x$ — это первоначальное количество инфузорий-туфелек. Согласно условию, каждое простейшее размножается делением на 2 части. Это означает, что после каждого цикла деления общее количество инфузорий удваивается. Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой равен 2.

Общее количество инфузорий $N$ после $n$ циклов деления можно найти по формуле:

$N = x \cdot 2^n$

В условии задачи указано, что деление происходило 6 раз ($n=6$), а итоговое количество инфузорий составило 320 ($N=320$). Подставим эти значения в формулу:

$320 = x \cdot 2^6$

Сначала вычислим, чему равно $2^6$:

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$320 = x \cdot 64$

Чтобы найти первоначальное количество инфузорий $x$, нужно разделить итоговое количество на 64:

$x = \frac{320}{64}$

$x = 5$

Следовательно, первоначально было 5 инфузорий. Этот вариант соответствует пункту D).

Ответ: D) 5;