Страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Почему для вывода формулы производной показательной функции из семейства функции $y = a^x$ специально выделяется функция $y = e^x$?

2. На чем основан вывод формулы производной логарифмической функции?

3. Каково соотношение между производными функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

1. Для вывода формулы производной показательной функции $y=a^x$ используется ее определение через предел: $(a^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^x (a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} = a^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$. Значение предела $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$ зависит только от основания $a$ и является некоторой константой. Существует уникальное число, обозначаемое буквой $e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$), для которого этот предел равен 1. То есть, по определению числа $e$: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1$. Благодаря этому свойству производная функции $y=e^x$ оказывается равной самой функции: $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$. Это уникальное и простое свойство делает функцию $y=e^x$ основной (натуральной) показательной функцией. Производную любой другой показательной функции $y=a^x$ можно легко найти, представив ее через основание $e$: $a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \ln a}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $(a^x)' = (e^{x \ln a})' = e^{x \ln a} \cdot (x \ln a)' = a^x \cdot \ln a$. Таким образом, функция $y=e^x$ выделяется, так как ее производная максимально проста, что делает ее эталоном для вывода общей формулы. Ответ: Функция $y=e^x$ выделяется потому, что она обладает уникальным свойством: ее производная равна самой функции. Это свойство, следующее из определения числа $e$, значительно упрощает вывод общей формулы производной для любой показательной функции $y=a^x$.

2. Вывод формулы производной логарифмической функции $y = \log_a x$ основан на правиле дифференцирования обратной функции. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной к показательной функции $x = a^y$. Формула для производной обратной функции имеет вид: $y_x' = \frac{1}{x_y'}$. В нашем случае, $x(y) = a^y$. Мы уже знаем производную этой функции по переменной $y$: $x_y' = (a^y)' = a^y \ln a$. Подставив это выражение в формулу для производной обратной функции, получим: $y_x' = (\log_a x)' = \frac{1}{a^y \ln a}$. Чтобы выразить результат через $x$, мы используем исходное соотношение $x = a^y$. Заменив $a^y$ на $x$, получаем итоговую формулу: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В частном случае для натурального логарифма $y = \ln x$ (где основание $a=e$), формула упрощается, так как $\ln e = 1$, и производная равна $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Ответ: Вывод формулы производной логарифмической функции основан на том, что она является обратной к показательной функции, и используется теорема о производной обратной функции.

3. Функции $y = e^x$ и $y = \ln x$ являются взаимно обратными. Найдем их производные. Производная показательной функции $y=e^x$ равна самой функции: $(e^x)' = e^x$. Производная натурального логарифма $y=\ln x$ равна: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Основное соотношение между этими производными вытекает из правила дифференцирования обратной функции. Если $f(x) = e^x$ и $g(x) = \ln x = f^{-1}(x)$, то их производные связаны формулой $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$. Проверим это: $f'(x)=e^x$, тогда $f'(g(x)) = f'(\ln x) = e^{\ln x} = x$. Подставляя в формулу, получаем $g'(x) = \frac{1}{x}$, что совпадает с известной производной для $\ln x$. Таким образом, производная функции $y=\ln x$ является величиной, обратной значению производной функции $y=e^x$, вычисленной в точке $y=\ln x$. Ответ: Производная функции $y=e^x$ равна $e^x$, а производная обратной ей функции $y=\ln x$ равна $\frac{1}{x}$. Эти производные связаны через правило дифференцирования обратной функции: производная $(\ln x)'$ равна $\frac{1}{e^{\ln x}}$.

22.1. Найдите производную заданной функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 3^{x^2 - 7x}$;

2) $f(x) = 2^{x + 3x^2}$;

3) $f(x) = 0.8^{1 - x^3}$;

4) $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x}$.

1) Дана функция $f(x) = 3^{x^2 - 7x}$. Это сложная функция вида $a^{u(x)}$, где $a=3$ и $u(x) = x^2 - 7x$. Ее производная находится по формуле $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

Сначала найдем производную показателя степени $u'(x)$: $u'(x) = (x^2 - 7x)' = (x^2)' - (7x)' = 2x - 7$.

Теперь подставим все в формулу производной сложной функции: $f'(x) = (3^{x^2 - 7x})' = 3^{x^2 - 7x} \cdot \ln(3) \cdot (2x - 7)$.

Запишем в более стандартном виде:

$f'(x) = (2x - 7) \cdot 3^{x^2 - 7x} \ln(3)$.

Ответ: $f'(x) = (2x - 7) \cdot 3^{x^2 - 7x} \ln(3)$.

2) Дана функция $f(x) = 2^x + 3x^2$. Эта функция является суммой двух функций: $g(x) = 2^x$ и $h(x) = 3x^2$. Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = g'(x) + h'(x)$.

Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln(a)$. Для $g(x) = 2^x$: $g'(x) = (2^x)' = 2^x \ln(2)$.

Производная степенной функции $(cx^n)' = cnx^{n-1}$. Для $h(x) = 3x^2$: $h'(x) = (3x^2)' = 3 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 6x$.

Теперь сложим найденные производные: $f'(x) = 2^x \ln(2) + 6x$.

Ответ: $f'(x) = 2^x \ln(2) + 6x$.

3) Дана функция $f(x) = 0.8^{1-x^3}$. Это сложная функция вида $a^{u(x)}$, где $a=0.8$ и $u(x) = 1-x^3$. Используем ту же формулу, что и в первом пункте: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

Найдем производную показателя степени $u'(x)$: $u'(x) = (1 - x^3)' = (1)' - (x^3)' = 0 - 3x^2 = -3x^2$.

Подставляем в формулу производной сложной функции: $f'(x) = (0.8^{1-x^3})' = 0.8^{1-x^3} \cdot \ln(0.8) \cdot (-3x^2)$.

Перегруппируем множители: $f'(x) = -3x^2 \cdot 0.8^{1-x^3} \ln(0.8)$.

Ответ: $f'(x) = -3x^2 \cdot 0.8^{1-x^3} \ln(0.8)$.

4) Дана функция $f(x) = (\frac{1}{7})^{4-x}$. Для удобства преобразуем функцию, используя свойство степеней $(\frac{1}{a})^b = a^{-b}$: $f(x) = (7^{-1})^{4-x} = 7^{-(4-x)} = 7^{x-4}$.

Теперь мы имеем сложную функцию вида $a^{u(x)}$, где $a=7$ и $u(x) = x-4$. Используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

Найдем производную показателя степени $u'(x)$: $u'(x) = (x-4)' = 1$.

Теперь найдем производную всей функции: $f'(x) = (7^{x-4})' = 7^{x-4} \cdot \ln(7) \cdot 1 = 7^{x-4} \ln(7)$.

Можно вернуть ответ к исходному основанию степени: $7^{x-4} = (\frac{1}{7})^{4-x}$. Тогда $f'(x) = (\frac{1}{7})^{4-x} \ln(7)$.

Ответ: $f'(x) = 7^{x-4} \ln(7)$ (или $f'(x) = (\frac{1}{7})^{4-x} \ln(7)$).

22.2. Вычислите:

1) $f'(1)$, если $f(x) = 7 + x - 5 \ln x$;

2) $f'(3)$, если $f(x) = 4 + \frac{1}{8} \ln 2x$.

1)

Дана функция $f(x) = 7 + x - 5\ln{x}$.

Чтобы найти $f'(1)$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования: производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (7)' + (x)' - (5\ln{x})'$

Найдем производную каждого слагаемого:

Производная константы: $(7)' = 0$.

Производная переменной $x$: $(x)' = 1$.

Производная произведения константы на функцию: $(5\ln{x})' = 5 \cdot (\ln{x})' = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$.

Соберем все вместе, чтобы получить производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 0 + 1 - \frac{5}{x} = 1 - \frac{5}{x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$, подставив это значение в полученное выражение:

$f'(1) = 1 - \frac{5}{1} = 1 - 5 = -4$.

Ответ: $-4$

2)

Дана функция $f(x) = 4 + \frac{1}{8}\ln(2x)$.

Чтобы найти $f'(3)$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (4 + \frac{1}{8}\ln(2x))' = (4)' + (\frac{1}{8}\ln(2x))'$

Производная первого слагаемого (константы) равна нулю: $(4)' = 0$.

Второе слагаемое $\frac{1}{8}\ln(2x)$ является сложной функцией. Для нахождения его производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(h) = \frac{1}{8}\ln(h)$, а внутренняя функция $h(x) = 2x$.

Найдем производные этих функций:

Производная внутренней функции: $h'(x) = (2x)' = 2$.

Производная внешней функции: $g'(h) = (\frac{1}{8}\ln(h))' = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{h}$.

Теперь применим цепное правило:

$(\frac{1}{8}\ln(2x))' = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{8 \cdot 2x} \cdot 2 = \frac{2}{16x} = \frac{1}{8x}$.

Таким образом, производная исходной функции:

$f'(x) = 0 + \frac{1}{8x} = \frac{1}{8x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x=3$:

$f'(3) = \frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$

22.3. Сравните с нулем:

1) $f'(1)$, если $f(x) = \log_{0.5} (2 + x)$;

2) $f'(4)$, если $f(x) = \log_{3} (5 + x)$;

3) $f'(4)$, если $f(x) = 0.2^{x - 3}$;

4) $f'(2)$, если $f(x) = 2.5^{x - 1}$.

1) $f'(1)$, если $f(x) = \log_{0,5}(2+x)$;

Чтобы сравнить значение производной $f'(1)$ с нулем, необходимо найти производную функции $f(x)$, подставить в нее значение $x=1$ и определить знак полученного выражения.

Для нахождения производной логарифмической функции используется формула $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \cdot \ln a}$.

В данном случае, основание логарифма $a = 0,5$, а аргумент $u(x) = 2+x$. Производная аргумента $u'(x) = (2+x)' = 1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (\log_{0,5}(2+x))' = \frac{1}{(2+x) \cdot \ln(0,5)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$: $f'(1) = \frac{1}{(2+1) \cdot \ln(0,5)} = \frac{1}{3 \ln(0,5)}$.

Оценим знак полученного выражения. Знаменатель дроби представляет собой произведение $3 \cdot \ln(0,5)$. Множитель $3$ является положительным числом. Так как основание натурального логарифма $e > 1$, а число под знаком логарифма $0,5 < 1$, то $\ln(0,5)$ является отрицательным числом. Произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательный результат, поэтому знаменатель $3 \ln(0,5) < 0$.

Числитель дроби равен $1$, что является положительным числом. Деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число.

Таким образом, $f'(1) < 0$.

Ответ: $f'(1) < 0$.

2) $f'(4)$, если $f(x) = \log_3(5+x)$;

Найдем производную функции $f(x) = \log_3(5+x)$ по формуле $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \cdot \ln a}$.

Здесь основание $a = 3$, аргумент $u(x) = 5+x$, и его производная $u'(x) = (5+x)' = 1$.

Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (\log_3(5+x))' = \frac{1}{(5+x) \cdot \ln 3}$.

Вычислим значение производной в точке $x=4$: $f'(4) = \frac{1}{(5+4) \cdot \ln 3} = \frac{1}{9 \ln 3}$.

Оценим знак этого выражения. Знаменатель $9 \ln 3$ является произведением двух положительных чисел: $9 > 0$ и $\ln 3 > 0$ (так как $3 > 1$). Произведение двух положительных чисел положительно, значит, знаменатель $9 \ln 3 > 0$.

Числитель дроби равен $1$ (положительное число). Деление положительного числа на положительное дает в результате положительное число.

Таким образом, $f'(4) > 0$.

Ответ: $f'(4) > 0$.

3) $f'(4)$, если $f(x) = 0,2^{x-3}$;

Для нахождения производной показательной функции $f(x) = 0,2^{x-3}$ используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.

В данном случае основание $a = 0,2$, а показатель степени $u(x) = x-3$. Производная показателя $u'(x) = (x-3)' = 1$.

Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (0,2^{x-3})' = 0,2^{x-3} \cdot \ln(0,2) \cdot 1 = 0,2^{x-3} \ln(0,2)$.

Вычислим значение производной в точке $x=4$: $f'(4) = 0,2^{4-3} \cdot \ln(0,2) = 0,2^1 \cdot \ln(0,2) = 0,2 \ln(0,2)$.

Оценим знак полученного выражения. Выражение является произведением двух множителей: $0,2$ и $\ln(0,2)$.

Множитель $0,2$ является положительным числом. Множитель $\ln(0,2)$ является отрицательным числом, так как $0 < 0,2 < 1$.

Произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательный результат.

Таким образом, $f'(4) < 0$.

Ответ: $f'(4) < 0$.

4) $f'(2)$, если $f(x) = 2,5^{x-1}$.

Найдем производную показательной функции $f(x) = 2,5^{x-1}$ по формуле $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.

Здесь основание $a = 2,5$, показатель степени $u(x) = x-1$, и его производная $u'(x) = (x-1)' = 1$.

Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (2,5^{x-1})' = 2,5^{x-1} \cdot \ln(2,5) \cdot 1 = 2,5^{x-1} \ln(2,5)$.

Вычислим значение производной в точке $x=2$: $f'(2) = 2,5^{2-1} \cdot \ln(2,5) = 2,5^1 \cdot \ln(2,5) = 2,5 \ln(2,5)$.

Оценим знак этого выражения. Выражение является произведением двух множителей: $2,5$ и $\ln(2,5)$.

Множитель $2,5$ является положительным числом. Множитель $\ln(2,5)$ также является положительным числом, так как $2,5 > 1$.

Произведение двух положительных чисел дает положительный результат.

Таким образом, $f'(2) > 0$.

Ответ: $f'(2) > 0$.

22.4. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x\ln x, x_0 = 0,5;$

2) $f(x) = \ln(x^2 + 2x), x_0 = 2.$

1) $f(x) = x\ln{x}, x_0 = 0,5$;

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = x\ln{x}$ и точки $x_0 = 0,5$ найдем все компоненты.

1. Значение функции в точке касания: $f(x_0) = f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(0,5) = 0,5 \ln(2^{-1}) = -0,5\ln{2}$.

2. Производная функции находится по правилу производной произведения: $f'(x) = (x\ln{x})' = (x)'\ln{x} + x(\ln{x})' = 1 \cdot \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1$.

3. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = f'(0,5) = \ln(0,5) + 1 = \ln(2^{-1}) + 1 = 1 - \ln{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной: $y = -0,5\ln{2} + (1 - \ln{2})(x - 0,5)$.

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $y = -0,5\ln{2} + (1 - \ln{2})x - 0,5(1 - \ln{2}) = -0,5\ln{2} + x - x\ln{2} - 0,5 + 0,5\ln{2} = (1 - \ln{2})x - 0,5$.

Ответ: $y = (1 - \ln{2})x - 0,5$.

2) $f(x) = \ln(x^2 + 2x), x_0 = 2$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \ln(x^2 + 2x)$ и точки $x_0 = 2$ найдем все компоненты.

1. Значение функции в точке касания: $f(x_0) = f(2) = \ln(2^2 + 2 \cdot 2) = \ln(4+4) = \ln{8}$.

2. Производная функции находится по правилу производной сложной функции: $f'(x) = (\ln(x^2 + 2x))' = \frac{(x^2 + 2x)'}{x^2 + 2x} = \frac{2x+2}{x^2+2x}$.

3. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = f'(2) = \frac{2 \cdot 2 + 2}{2^2 + 2 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной: $y = \ln{8} + \frac{3}{4}(x - 2)$.

5. Раскроем скобки и упростим: $y = \ln{8} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{4}x + \ln{8} - \frac{3}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \ln{8} - \frac{3}{2}$.

22.5. Найдите промежутки возрастания, убывания функции $f(x)$:

1) $f(x) = 2\ln x + x^2$;

2) $f(x) = x^2 \cdot e^x$;

3) $f(x) = x^3 \cdot e^{-3x}$;

4) $f(x) = x^3 - 3\ln(2x).$

1) f(x) = 2lnx + x²

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной.

1. Найдем область определения функции.

Выражение $\ln x$ определено только для $x > 0$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (2\ln x + x^2)' = 2 \cdot (\ln x)' + (x^2)' = 2 \cdot \frac{1}{x} + 2x = \frac{2 + 2x^2}{x}$.

3. Найдем критические точки.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies \frac{2 + 2x^2}{x} = 0$.

Это уравнение эквивалентно системе: $\begin{cases} 2 + 2x^2 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$ $2x^2 = -2 \implies x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции. Таким образом, на области определения $(0, +\infty)$ критических точек нет.

4. Определим знак производной.

Поскольку на всей области определения $(0, +\infty)$ нет критических точек, производная сохраняет свой знак. Для любого $x > 0$ числитель $2 + 2x^2 > 0$ и знаменатель $x > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.

Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) f(x) = x² ⋅ eˣ

1. Найдем область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$f'(x) = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x + x^2) = x(x+2)e^x$.

3. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю: $x(x+2)e^x = 0$.

Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $x(x+2) = 0$. Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Критические точки $-2$ и $0$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Так как $e^x > 0$, знак производной совпадает со знаком выражения $x(x+2)$.

- На интервале $(-\infty, -2)$: $f'(-3) = (-3)(-3+2)e^{-3} = 3e^{-3} > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-2, 0)$: $f'(-1) = (-1)(-1+2)e^{-1} = -e^{-1} < 0$, функция убывает.

- На интервале $(0, +\infty)$: $f'(1) = 1(1+2)e^1 = 3e > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$.

3) f(x) = x³ ⋅ e⁻³ˣ

1. Найдем область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения и цепное правило.

$f'(x) = (x^3)'e^{-3x} + x^3(e^{-3x})' = 3x^2e^{-3x} + x^3(-3e^{-3x}) = 3x^2e^{-3x} - 3x^3e^{-3x}$.

Вынесем общий множитель: $f'(x) = 3x^2e^{-3x}(1-x)$.

3. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю: $3x^2(1-x)e^{-3x} = 0$.

Так как $e^{-3x} > 0$, то $3x^2(1-x) = 0$.

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Критические точки $0$ и $1$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Знак производной определяется знаком выражения $x^2(1-x)$, так как $3e^{-3x} > 0$.

- На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ множитель $x^2$ положителен. Знак зависит от $(1-x)$.

- Для $x < 1$, $(1-x) > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$, она возрастает на всем промежутке $(-\infty, 1]$.

- На интервале $(1, +\infty)$: $1-x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$, убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

4) f(x) = x³ - 3ln(2x)

1. Найдем область определения функции.

Выражение $\ln(2x)$ определено при $2x > 0$, то есть $x > 0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (x^3 - 3\ln(2x))' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{2x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$.

Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{3x^3 - 3}{x} = \frac{3(x^3-1)}{x}$.

3. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю: $\frac{3(x^3-1)}{x} = 0$.

$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Точка $x=1$ принадлежит области определения, это критическая точка.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Критическая точка $x=1$ разбивает область определения $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

На области определения $x > 0$, поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $x^3-1$.

- На интервале $(0, 1)$: $x^3-1 < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(1, +\infty)$: $x^3-1 > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, 1]$, возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

22.6. Докажите, что функция $y = f(x)$ убывает на заданном промежутке:

1) $f(x) = x \ln x$ и $(0; \frac{1}{e});$

2) $f(x) = x - \ln(2x - 1)$ и $(0,5; 1,5).$

Для того чтобы доказать, что функция $y = f(x)$ убывает на заданном промежутке, достаточно доказать, что ее производная $f'(x)$ отрицательна для всех $x$ из этого промежутка.

1) $f(x) = x \ln x$ и $(0; \frac{1}{e})$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Теперь исследуем знак производной на интервале $(0; \frac{1}{e})$. Нам нужно показать, что $f'(x) < 0$ при $x \in (0; \frac{1}{e})$.

Решим неравенство $\ln x + 1 < 0$:

$\ln x < -1$

Поскольку $-1 = \ln(\frac{1}{e})$ и функция $y = \ln x$ является строго возрастающей, неравенство справедливо для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < x < \frac{1}{e}$.

Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всем интервале $(0; \frac{1}{e})$, а значит, функция $f(x) = x \ln x$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

2) $f(x) = x - \ln(2x - 1)$ и $(0,5; 1,5)$

Область определения функции находится из условия $2x - 1 > 0$, что дает $x > 0,5$. Заданный интервал $(0,5; 1,5)$ полностью входит в область определения функции.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x - \ln(2x - 1))' = (x)' - (\ln(2x - 1))' = 1 - \frac{1}{2x - 1} \cdot (2x - 1)' = 1 - \frac{2}{2x - 1}$.

Исследуем знак производной на интервале $(0,5; 1,5)$. Нам нужно показать, что $f'(x) < 0$ при $x \in (0,5; 1,5)$.

Решим неравенство $1 - \frac{2}{2x - 1} < 0$:

$1 < \frac{2}{2x - 1}$

На интервале $(0,5; 1,5)$ выражение $2x - 1$ положительно (так как $x > 0,5$ влечет $2x > 1$ и $2x - 1 > 0$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $2x - 1$, сохранив знак:

$2x - 1 < 2$

$2x < 3$

$x < 1,5$

Совмещая с областью определения ($x > 0,5$), получаем, что производная $f'(x)$ отрицательна при $x \in (0,5; 1,5)$.

Следовательно, функция $f(x) = x - \ln(2x - 1)$ убывает на интервале $(0,5; 1,5)$.

Ответ: Доказано.

22.7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$;

2) $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 4$, $x = 10$;

3) $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -0,3$, $x = -1$;

4) $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -3$, $x = -2$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл. Если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a, b]$, то площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

1) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 3$. На отрезке $[1, 3]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ положительна ($f(x) > 0$). Следовательно, площадь фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_{1}^{3} = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) - 0 = \ln(3)$.

Ответ: $\ln(3)$.

2) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 4$ и $x = 10$. На отрезке $[4, 10]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ также положительна. Вычисляем площадь:

$S = \int_{4}^{10} \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_{4}^{10} = \ln(10) - \ln(4) = \ln(\frac{10}{4}) = \ln(\frac{5}{2}) = \ln(2.5)$.

Ответ: $\ln(2.5)$.

3) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -0.3$ и $x = -1$. Пределы интегрирования располагаем в порядке возрастания: от $-1$ до $-0.3$. На отрезке $[-1, -0.3]$ переменная $x$ отрицательна, поэтому $\frac{1}{x} < 0$, а функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Вычисляем площадь:

$S = \int_{-1}^{-0.3} \left(-\frac{1}{x}\right) \,dx = -\int_{-1}^{-0.3} \frac{1}{x} \,dx = -[\ln|x|]_{-1}^{-0.3} = -(\ln|-0.3| - \ln|-1|) = -(\ln(0.3) - \ln(1)) = -(\ln(0.3) - 0) = -\ln(0.3)$.

Используя свойство логарифмов $-\ln(a) = \ln(\frac{1}{a})$, получаем:

$S = \ln\left(\frac{1}{0.3}\right) = \ln\left(\frac{10}{3}\right)$.

Ответ: $\ln\left(\frac{10}{3}\right)$.

4) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -3$ и $x = -2$. Пределы интегрирования: от $-3$ до $-2$. На этом отрезке, как и в предыдущем пункте, функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Вычисляем площадь:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(-\frac{1}{x}\right) \,dx = -\int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} \,dx = -[\ln|x|]_{-3}^{-2} = -(\ln|-2| - \ln|-3|) = -(\ln(2) - \ln(3)) = \ln(3) - \ln(2)$.

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:

$S = \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln(1.5)$.

Ответ: $\ln(1.5)$.