Номер 22.2, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.2. Вычислите:

1) $f'(1)$, если $f(x) = 7 + x - 5 \ln x$;

2) $f'(3)$, если $f(x) = 4 + \frac{1}{8} \ln 2x$.

1)

Дана функция $f(x) = 7 + x - 5\ln{x}$.

Чтобы найти $f'(1)$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования: производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (7)' + (x)' - (5\ln{x})'$

Найдем производную каждого слагаемого:

Производная константы: $(7)' = 0$.

Производная переменной $x$: $(x)' = 1$.

Производная произведения константы на функцию: $(5\ln{x})' = 5 \cdot (\ln{x})' = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$.

Соберем все вместе, чтобы получить производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 0 + 1 - \frac{5}{x} = 1 - \frac{5}{x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$, подставив это значение в полученное выражение:

$f'(1) = 1 - \frac{5}{1} = 1 - 5 = -4$.

Ответ: $-4$

2)

Дана функция $f(x) = 4 + \frac{1}{8}\ln(2x)$.

Чтобы найти $f'(3)$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (4 + \frac{1}{8}\ln(2x))' = (4)' + (\frac{1}{8}\ln(2x))'$

Производная первого слагаемого (константы) равна нулю: $(4)' = 0$.

Второе слагаемое $\frac{1}{8}\ln(2x)$ является сложной функцией. Для нахождения его производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(h) = \frac{1}{8}\ln(h)$, а внутренняя функция $h(x) = 2x$.

Найдем производные этих функций:

Производная внутренней функции: $h'(x) = (2x)' = 2$.

Производная внешней функции: $g'(h) = (\frac{1}{8}\ln(h))' = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{h}$.

Теперь применим цепное правило:

$(\frac{1}{8}\ln(2x))' = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{8 \cdot 2x} \cdot 2 = \frac{2}{16x} = \frac{1}{8x}$.

Таким образом, производная исходной функции:

$f'(x) = 0 + \frac{1}{8x} = \frac{1}{8x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x=3$:

$f'(3) = \frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$