Номер 21.15, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.15. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \lg |x^2 - 1|$;

2) $f(x) = \lg |x - 3|$;

3) $f(x) = |\lg |x||$;

4) $f(x) = 4 - |\log_3 |x - 1||$.

1) $f(x) = \lg |x^2 - 1|$

Для построения графика функции $y = \lg|x^2 - 1|$ выполним последовательность преобразований.

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x^2 - 1| > 0$. Это выполняется, когда $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Чётность. $f(-x) = \lg|(-x)^2 - 1| = \lg|x^2 - 1| = f(x)$. Функция чётная, её график симметричен относительно оси OY.

3. Построение графика:

а) Начнём с графика параболы $y_1 = x^2 - 1$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещённая на 1 единицу вниз. Её вершина находится в точке $(0, -1)$, а корни — в точках $x=-1$ и $x=1$.

б) Далее строим график функции $y_2 = |x^2 - 1|$. Для этого часть графика $y_1$, которая лежит ниже оси OX (на интервале $(-1, 1)$), мы симметрично отражаем относительно оси OX. Вершина $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$.

в) Теперь строим итоговый график $y = \lg|x^2 - 1|$, применяя логарифмическую функцию к $y_2$.

• Вертикальные асимптоты. Логарифм не определён, когда его аргумент равен нулю. Это происходит при $|x^2 - 1| = 0$, то есть при $x = \pm 1$. Когда $x$ стремится к $\pm 1$, $|x^2 - 1|$ стремится к $0^+$, поэтому $\lg|x^2 - 1| \to -\infty$. Прямые $x=-1$ и $x=1$ — вертикальные асимптоты.

• Нули функции. Найдём точки пересечения с осью OX, решив уравнение $y=0$:

$\lg|x^2 - 1| = 0 \implies |x^2 - 1| = 10^0 = 1$.

Это даёт два случая: $x^2 - 1 = 1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$, и $x^2 - 1 = -1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.

Таким образом, нули функции находятся в точках $x = -\sqrt{2}$, $x=0$, $x=\sqrt{2}$.

• Экстремумы. Функция $y_2 = |x^2 - 1|$ имеет локальный максимум в точке $x=0$, равный $1$. Поскольку функция $\lg(t)$ является возрастающей, в точке $x=0$ функция $f(x)$ также будет иметь локальный максимум, равный $\lg(1) = 0$.

• Поведение на бесконечности. При $x \to \pm\infty$, $x^2-1 \to +\infty$, следовательно $\lg|x^2-1| \to +\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY и состоит из трёх ветвей, разделённых вертикальными асимптотами $x=-1$ и $x=1$. Центральная ветвь на интервале $(-1, 1)$ представляет собой "арку", касающуюся оси OX в точке $(0, 0)$ (локальный максимум) и уходящую к $-\infty$ при приближении к асимптотам. Две боковые ветви на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ начинаются от асимптот из $-\infty$, пересекают ось OX в точках $x = \pm\sqrt{2}$ и уходят в $+\infty$.

2) $f(x) = \lg |x - 3|$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, используя преобразования базовой функции $y = \lg(x)$.

1. Базовый график. Строим график функции $y_1 = \lg(x)$. Это стандартная логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Область определения $x>0$.

2. Применение модуля к аргументу. Строим график функции $y_2 = \lg|x|$. Для этого мы отражаем график $y_1$ (для $x>0$) симметрично относительно оси OY. Полученный график симметричен относительно оси OY, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и пересекает ось OX в точках $x=-1$ и $x=1$. Область определения $x \neq 0$.

3. Сдвиг по горизонтали. Строим итоговый график $y = \lg|x - 3|$. Это график функции $y_2$, сдвинутый на 3 единицы вправо. • Область определения. $|x - 3| > 0 \implies x \neq 3$. • Симметрия. График симметричен относительно прямой $x=3$. • Вертикальная асимптота. Асимптота $x=0$ для $y_2$ смещается вправо на 3, становясь прямой $x=3$. • Нули функции. Найдём точки пересечения с осью OX: $\lg|x-3| = 0 \implies |x-3| = 1$.

Два случая: $x-3=1 \implies x=4$ и $x-3=-1 \implies x=2$. Нули в точках $x=2$ и $x=4$. • Пересечение с осью OY. При $x=0$, $y = \lg|0-3| = \lg(3)$. Точка пересечения $(0, \lg 3)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=3$. Правая ветвь (для $x>3$) является графиком функции $\lg(x-3)$, она выходит из $-\infty$ от асимптоты, пересекает ось OX в точке $(4, 0)$ и уходит в $+\infty$. Левая ветвь (для $x<3$) является её зеркальным отражением, она также выходит из $-\infty$ от асимптоты, пересекает ось OX в точке $(2, 0)$, ось OY в точке $(0, \lg 3)$ и уходит в $+\infty$ при $x \to -\infty$.

3) $f(x) = |\lg|x||$

Построим график, выполняя последовательные преобразования.

1. Базовый график. Начинаем с графика $y_1 = \lg(x)$.

2. Применение модуля к аргументу. Строим график $y_2 = \lg|x|$, как в предыдущем задании, отражая $y_1$ относительно оси OY. График симметричен относительно OY, имеет асимптоту $x=0$ и нули в $x=\pm 1$. Функция отрицательна на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

3. Применение модуля ко всей функции. Строим итоговый график $y = |\lg|x||$. Для этого все части графика $y_2$, которые находятся ниже оси OX, мы симметрично отражаем относительно оси OX. • Части графика на интервалах $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, где $y_2 \ge 0$, остаются без изменений. • Части графика на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, где $y_2 < 0$, отражаются вверх. • Область определения. $x \neq 0$. • Область значений. $y \ge 0$. • Вертикальная асимптота. При $x \to 0$, $y_2 = \lg|x| \to -\infty$, поэтому $y = |\lg|x|| \to +\infty$. Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, к которой график стремится вверх. • Нули функции. $y=0$ там, где $\lg|x|=0$, то есть при $|x|=1$, $x=\pm 1$. В этих точках график не пересекает, а касается оси OX, образуя "острые углы" (точки излома). • Симметрия. Функция чётная, $f(-x) = |\lg|-x|| = |\lg|x|| = f(x)$, график симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY и расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$, к которой обе ветви стремятся в $+\infty$. График касается оси OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. На интервалах $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$ он совпадает с графиком $\lg|x|$, а на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ он является отражением графика $\lg|x|$ относительно оси OX.

4) $f(x) = 4 - |\log_3 |x - 1||$

Построим график функции через последовательность преобразований.

1. Базовый график: $y_1 = \log_3(x)$. Это логарифмическая функция с основанием 3.

2. $y_2 = \log_3|x|$: отражаем $y_1$ относительно оси OY.

3. $y_3 = \log_3|x-1|$: сдвигаем $y_2$ на 1 единицу вправо. Асимптота теперь $x=1$, нули в $x=0$ и $x=2$. График симметричен относительно прямой $x=1$.

4. $y_4 = |\log_3|x-1||$: отражаем отрицательную часть $y_3$ (на интервале $(0, 2)$, кроме $x=1$) вверх. Теперь асимптота $x=1$ уходит в $+\infty$, а в точках $x=0$ и $x=2$ график касается оси OX.

5. $y_5 = -|\log_3|x-1||$: отражаем весь график $y_4$ относительно оси OX. Теперь асимптота $x=1$ уходит в $-\infty$, а точки касания $(0,0)$ и $(2,0)$ становятся вершинами (максимумами).

6. $y = 4 - |\log_3|x-1||$: сдвигаем график $y_5$ на 4 единицы вверх.

Проанализируем итоговую функцию:

• Область определения. $|x - 1| > 0 \implies x \neq 1$.

• Симметрия. График симметричен относительно прямой $x=1$.

• Вертикальная асимптота. Прямая $x=1$. При $x \to 1$, $y \to -\infty$.

• Экстремумы. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$ на графике $y_5$ были максимумами. После сдвига вверх на 4 они становятся точками локальных максимумов $(0, 4)$ и $(2, 4)$. Это точки излома ("острые вершины").

• Нули функции. Решим уравнение $4 - |\log_3|x-1|| = 0$:

$|\log_3|x-1|| = 4$.

Это даёт два случая:

a) $\log_3|x-1| = 4 \implies |x-1| = 3^4 = 81$. Отсюда $x-1=81 \implies x=82$ или $x-1=-81 \implies x=-80$.

b) $\log_3|x-1| = -4 \implies |x-1| = 3^{-4} = 1/81$. Отсюда $x-1=1/81 \implies x=82/81$ или $x-1=-1/81 \implies x=80/81$.

Итого 4 нуля: $x=-80, x=80/81, x=82/81, x=82$.

• Поведение на бесконечности. При $x \to \pm\infty$, $|\log_3|x-1|| \to +\infty$, поэтому $f(x) \to -\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно вертикальной асимптоты $x=1$. Он состоит из трёх частей. Центральная часть, на интервале $(0, 2)$, представляет собой две "арки", исходящие из точек локальных максимумов $(0, 4)$ и $(2, 4)$, пересекающие ось OX в точках $x=80/81$ и $x=82/81$ соответственно, и уходящие к $-\infty$ по мере приближения к асимптоте $x=1$. Две крайние ветви начинаются от максимумов $(0, 4)$ и $(2, 4)$, идут вниз, пересекают ось OX в точках $x=-80$ и $x=82$ и уходят в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$.