Номер 21.13, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.13. Какую числовую последовательность составляют значения логарифмической функции $y = \log_{\sqrt{2}} x$ для значений аргумента 1; 2; 4; 8; ..., образующих геометрическую прогрессию? Запишите последовательность. Сделайте вывод.

Дана логарифмическая функция $y = \log_{\sqrt{2}} x$ и последовательность значений ее аргумента: 1; 2; 4; 8; ... .

Эта последовательность аргументов $x_n$ является геометрической прогрессией, первый член которой $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 2$. Общий член этой прогрессии можно записать формулой: $x_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$.

Для того чтобы найти, какую числовую последовательность составляют значения логарифмической функции, нужно вычислить значения $y_n = \log_{\sqrt{2}} x_n$ для каждого члена последовательности $x_n$.

1. При $x_1 = 1$:

$y_1 = \log_{\sqrt{2}} 1 = 0$

2. При $x_2 = 2$:

$y_2 = \log_{\sqrt{2}} 2$. Чтобы найти это значение, решим уравнение $(\sqrt{2})^y = 2$. Так как $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, получаем $(2^{1/2})^y = 2^1$, откуда $\frac{y}{2} = 1$, следовательно $y=2$. Значит, $y_2 = 2$.

3. При $x_3 = 4$:

$y_3 = \log_{\sqrt{2}} 4$. Решим уравнение $(\sqrt{2})^y = 4$. $(2^{1/2})^y = 2^2$, откуда $\frac{y}{2} = 2$, следовательно $y=4$. Значит, $y_3 = 4$.

4. При $x_4 = 8$:

$y_4 = \log_{\sqrt{2}} 8$. Решим уравнение $(\sqrt{2})^y = 8$. $(2^{1/2})^y = 2^3$, откуда $\frac{y}{2} = 3$, следовательно $y=6$. Значит, $y_4 = 6$.

Запишите последовательность.

В результате вычислений мы получили следующую числовую последовательность значений функции: 0; 2; 4; 6; ... .

Сделайте вывод.

Проанализируем полученную последовательность $y_n$: 0; 2; 4; 6; ... . Найдем разность между ее соседними членами:

$y_2 - y_1 = 2 - 0 = 2$

$y_3 - y_2 = 4 - 2 = 2$

$y_4 - y_3 = 6 - 4 = 2$

Разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна 2. Это означает, что полученная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 0$ и разностью $d = 2$.

В общем случае, если аргументы логарифмической функции $y = \log_a x$ образуют геометрическую прогрессию $x_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, то соответствующие значения функции $y_n = \log_a x_n$ образуют арифметическую прогрессию. Это следует из свойства логарифма:

$y_n = \log_a(b_1 \cdot q^{n-1}) = \log_a b_1 + \log_a(q^{n-1}) = \log_a b_1 + (n-1)\log_a q$.

Это выражение является формулой n-го члена арифметической прогрессии, где первый член равен $\log_a b_1$, а разность равна $\log_a q$.

Ответ: Значения логарифмической функции составляют последовательность 0; 2; 4; 6; ..., которая является арифметической прогрессией. Вывод: если аргументы логарифмической функции образуют геометрическую прогрессию, то соответствующие значения функции образуют арифметическую прогрессию.