Номер 21.17, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.17. Запишите аналитическую формулу функции, график которой изображен на рисунке 61:

1)

2)

1)

На рисунке изображен график показательной (экспоненциальной) функции. Ее общая формула $y = a^x$, где $a$ - основание степени. График такой функции всегда проходит через точку $(0; 1)$, так как любое число в нулевой степени равно единице. Это соответствует изображению на рисунке.

Чтобы найти основание $a$, выберем на графике любую другую точку с хорошо читаемыми целочисленными координатами. Например, точка с координатами $(1; 2)$. Подставим значения $x=1$ и $y=2$ в общую формулу:

$2 = a^1$

Из этого уравнения следует, что $a = 2$.

Таким образом, аналитическая формула функции: $y = 2^x$.

Для проверки можно взять еще одну точку, например, $(2; 4)$:

$y(2) = 2^2 = 4$.

Или точку $(-1; 0.5)$:

$y(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Все точки на графике удовлетворяют полученной формуле.

Ответ: $y = 2^x$

2)

На рисунке изображен график функции квадратного корня, который был смещен. Общий вид такой функции $y = k\sqrt{x-h} + v$, где $(h, v)$ — координаты начальной точки графика.

Из рисунка видно, что начальная точка графика имеет координаты $(-2; 0)$. Это означает, что график функции $y=\sqrt{x}$ был смещен на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс ($h=-2$) и не смещен по оси ординат ($v=0$).

Таким образом, формула функции принимает вид $y = k\sqrt{x - (-2)} + 0$, что упрощается до $y = k\sqrt{x+2}$.

Теперь найдем коэффициент $k$. Для этого выберем на графике еще одну точку с целочисленными координатами, например, точку $(-1; 1)$. Подставим ее координаты в нашу формулу:

$1 = k\sqrt{-1+2}$

$1 = k\sqrt{1}$

$1 = k \cdot 1$

Отсюда $k=1$.

Следовательно, искомая аналитическая формула: $y = \sqrt{x+2}$.

Проверим себя с помощью еще одной точки с графика, например, $(2; 2)$:

$y(2) = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Равенство верное, значит формула найдена правильно.

Ответ: $y = \sqrt{x+2}$