Номер 22.5, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.5. Найдите промежутки возрастания, убывания функции $f(x)$:

1) $f(x) = 2\ln x + x^2$;

2) $f(x) = x^2 \cdot e^x$;

3) $f(x) = x^3 \cdot e^{-3x}$;

4) $f(x) = x^3 - 3\ln(2x).$

1) f(x) = 2lnx + x²

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной.

1. Найдем область определения функции.

Выражение $\ln x$ определено только для $x > 0$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (2\ln x + x^2)' = 2 \cdot (\ln x)' + (x^2)' = 2 \cdot \frac{1}{x} + 2x = \frac{2 + 2x^2}{x}$.

3. Найдем критические точки.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies \frac{2 + 2x^2}{x} = 0$.

Это уравнение эквивалентно системе: $\begin{cases} 2 + 2x^2 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$ $2x^2 = -2 \implies x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции. Таким образом, на области определения $(0, +\infty)$ критических точек нет.

4. Определим знак производной.

Поскольку на всей области определения $(0, +\infty)$ нет критических точек, производная сохраняет свой знак. Для любого $x > 0$ числитель $2 + 2x^2 > 0$ и знаменатель $x > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.

Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) f(x) = x² ⋅ eˣ

1. Найдем область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$f'(x) = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x + x^2) = x(x+2)e^x$.

3. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю: $x(x+2)e^x = 0$.

Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $x(x+2) = 0$. Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Критические точки $-2$ и $0$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Так как $e^x > 0$, знак производной совпадает со знаком выражения $x(x+2)$.

- На интервале $(-\infty, -2)$: $f'(-3) = (-3)(-3+2)e^{-3} = 3e^{-3} > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-2, 0)$: $f'(-1) = (-1)(-1+2)e^{-1} = -e^{-1} < 0$, функция убывает.

- На интервале $(0, +\infty)$: $f'(1) = 1(1+2)e^1 = 3e > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$.

3) f(x) = x³ ⋅ e⁻³ˣ

1. Найдем область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения и цепное правило.

$f'(x) = (x^3)'e^{-3x} + x^3(e^{-3x})' = 3x^2e^{-3x} + x^3(-3e^{-3x}) = 3x^2e^{-3x} - 3x^3e^{-3x}$.

Вынесем общий множитель: $f'(x) = 3x^2e^{-3x}(1-x)$.

3. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю: $3x^2(1-x)e^{-3x} = 0$.

Так как $e^{-3x} > 0$, то $3x^2(1-x) = 0$.

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Критические точки $0$ и $1$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Знак производной определяется знаком выражения $x^2(1-x)$, так как $3e^{-3x} > 0$.

- На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ множитель $x^2$ положителен. Знак зависит от $(1-x)$.

- Для $x < 1$, $(1-x) > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$, она возрастает на всем промежутке $(-\infty, 1]$.

- На интервале $(1, +\infty)$: $1-x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$, убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

4) f(x) = x³ - 3ln(2x)

1. Найдем область определения функции.

Выражение $\ln(2x)$ определено при $2x > 0$, то есть $x > 0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (x^3 - 3\ln(2x))' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{2x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$.

Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{3x^3 - 3}{x} = \frac{3(x^3-1)}{x}$.

3. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю: $\frac{3(x^3-1)}{x} = 0$.

$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Точка $x=1$ принадлежит области определения, это критическая точка.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Критическая точка $x=1$ разбивает область определения $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

На области определения $x > 0$, поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $x^3-1$.

- На интервале $(0, 1)$: $x^3-1 < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(1, +\infty)$: $x^3-1 > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, 1]$, возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.