Номер 22.10, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.10. Сравните с нулем:

1) $f'(1)$, если $f(x) = \frac{x^2}{0.5^{1-2x}}$;

2) $f'(2)$, если $f(x) = \frac{3^{1-2x}}{x^{-4}}$;

3) $f'(1)$, если $f(x) = \ln(1.5 - x) - e^{x-1}$;

4) $f'\left(\frac{1}{3}\right)$, если $f(x) = \ln(2 - 3x) + x$.

1) Для функции $f(x) = \frac{x^2}{0.5^{1-2x}}$ найдем производную. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^2$, тогда $u'(x) = 2x$.

Пусть $v(x) = 0.5^{1-2x}$. Тогда, используя правило дифференцирования сложной функции и формулу $(a^x)' = a^x \ln a$, получаем:

$v'(x) = (0.5^{1-2x})' = 0.5^{1-2x} \cdot \ln(0.5) \cdot (1-2x)' = 0.5^{1-2x} \cdot \ln(0.5) \cdot (-2) = -2 \ln(0.5) \cdot 0.5^{1-2x}$.

Поскольку $\ln(0.5) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$, то $v'(x) = -2(-\ln(2)) \cdot 0.5^{1-2x} = 2 \ln(2) \cdot 0.5^{1-2x}$.

Теперь подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{2x \cdot 0.5^{1-2x} - x^2 \cdot (2 \ln(2) \cdot 0.5^{1-2x})}{(0.5^{1-2x})^2}$.

Вынесем общий множитель $0.5^{1-2x}$ в числителе и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{0.5^{1-2x}(2x - 2x^2 \ln(2))}{0.5^{2(1-2x)}} = \frac{2x - 2x^2 \ln(2)}{0.5^{1-2x}}$.

Найдем значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = \frac{2(1) - 2(1)^2 \ln(2)}{0.5^{1-2(1)}} = \frac{2 - 2 \ln(2)}{0.5^{-1}}$.

Так как $0.5^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$, получаем:

$f'(1) = \frac{2(1 - \ln(2))}{2} = 1 - \ln(2)$.

Чтобы сравнить это значение с нулем, сравним 1 и $\ln(2)$. Поскольку основание натурального логарифма $e \approx 2.718 > 2$, то $\ln(e) > \ln(2)$, что означает $1 > \ln(2)$.

Следовательно, $1 - \ln(2) > 0$.

Ответ: $f'(1) > 0$.

2) Для функции $f(x) = \frac{3^{1-2x}}{x^{-4}}$ сначала упростим выражение: $f(x) = x^4 \cdot 3^{1-2x}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^4$, тогда $u'(x) = 4x^3$.

Пусть $v(x) = 3^{1-2x}$. Тогда $v'(x) = 3^{1-2x} \cdot \ln(3) \cdot (1-2x)' = -2 \ln(3) \cdot 3^{1-2x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = 4x^3 \cdot 3^{1-2x} + x^4 \cdot (-2 \ln(3) \cdot 3^{1-2x})$.

Вынесем общие множители $x^3 \cdot 3^{1-2x}$:

$f'(x) = x^3 \cdot 3^{1-2x}(4 - 2x \ln(3))$.

Найдем значение производной в точке $x=2$:

$f'(2) = 2^3 \cdot 3^{1-2(2)}(4 - 2(2) \ln(3)) = 8 \cdot 3^{-3}(4 - 4 \ln(3))$.

$f'(2) = \frac{8}{27} \cdot 4(1 - \ln(3)) = \frac{32}{27}(1 - \ln(3))$.

Знак выражения определяется знаком множителя $(1 - \ln(3))$. Поскольку $e \approx 2.718 < 3$, то $\ln(e) < \ln(3)$, что означает $1 < \ln(3)$.

Следовательно, $1 - \ln(3) < 0$. Так как $\frac{32}{27} > 0$, то произведение $\frac{32}{27}(1 - \ln(3)) < 0$.

Ответ: $f'(2) < 0$.

3) Для функции $f(x) = \ln(1.5 - x) - e^{x-1}$ найдем производную.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ и $(e^u)' = e^u \cdot u'$.

$(\ln(1.5 - x))' = \frac{(1.5-x)'}{1.5 - x} = \frac{-1}{1.5 - x}$.

$(e^{x-1})' = e^{x-1} \cdot (x-1)' = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}$.

Таким образом, производная функции:

$f'(x) = \frac{-1}{1.5 - x} - e^{x-1}$.

Найдем значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = \frac{-1}{1.5 - 1} - e^{1-1} = \frac{-1}{0.5} - e^0 = -2 - 1 = -3$.

Сравниваем полученное значение с нулем: $-3 < 0$.

Ответ: $f'(1) < 0$.

4) Для функции $f(x) = \ln(2 - 3x) + x$ найдем производную.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

$(\ln(2 - 3x))' = \frac{(2-3x)'}{2 - 3x} = \frac{-3}{2 - 3x}$.

$(x)' = 1$.

Таким образом, производная функции:

$f'(x) = \frac{-3}{2 - 3x} + 1$.

Найдем значение производной в точке $x=\frac{1}{3}$:

$f'(\frac{1}{3}) = \frac{-3}{2 - 3(\frac{1}{3})} + 1 = \frac{-3}{2 - 1} + 1 = \frac{-3}{1} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Сравниваем полученное значение с нулем: $-2 < 0$.

Ответ: $f'(\frac{1}{3}) < 0$.