Номер 22.14, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.14. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{1}{x}$, $x = 1$, $y = 4$, $x = e$;

2) $y = 1 + e^x$, $x = 0$, $x = -4$, $y = 3$.

1) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $x=1$, $y=4$ и $x=e$, вычисляется как определенный интеграл. Сначала необходимо определить, какая из функций является верхней, а какая нижней границей на интервале интегрирования по $x$ от $1$ до $e$.

На интервале $[1, e]$ значения функции $y = \frac{1}{x}$ находятся в диапазоне от $y(1) = \frac{1}{1} = 1$ до $y(e) = \frac{1}{e}$. Так как $4 > 1 \ge \frac{1}{x}$ для любого $x$ из данного интервала, то линия $y=4$ является верхней границей фигуры, а кривая $y=\frac{1}{x}$ — нижней.

Площадь $S$ находится как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{e} \left(4 - \frac{1}{x}\right) dx$

Вычислим первообразную:

$\int \left(4 - \frac{1}{x}\right) dx = 4x - \ln|x|$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [4x - \ln|x|]_{1}^{e} = (4e - \ln|e|) - (4 \cdot 1 - \ln|1|)$

Поскольку $\ln(e) = 1$ и $\ln(1) = 0$, получаем:

$S = (4e - 1) - (4 - 0) = 4e - 1 - 4 = 4e - 5$.

Ответ: $4e-5$.

2) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + e^x$, $x=0$, $x=-4$ и $y=3$, также вычисляется с помощью определенного интеграла. Интервал интегрирования по $x$ — от $-4$ до $0$.

На интервале $[-4, 0]$ значения функции $y = 1 + e^x$ находятся в диапазоне от $y(-4) = 1 + e^{-4}$ до $y(0) = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$.

Так как $3 > 2 \ge 1 + e^x$ для любого $x$ из данного интервала, то линия $y=3$ является верхней границей, а кривая $y=1+e^x$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-4}^{0} (3 - (1 + e^x)) dx = \int_{-4}^{0} (2 - e^x) dx$

Вычислим первообразную:

$\int (2 - e^x) dx = 2x - e^x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [2x - e^x]_{-4}^{0} = (2 \cdot 0 - e^0) - (2 \cdot (-4) - e^{-4})$

Поскольку $e^0 = 1$, получаем:

$S = (0 - 1) - (-8 - e^{-4}) = -1 - (-8) - (-e^{-4}) = -1 + 8 + e^{-4} = 7 + e^{-4}$.

Ответ: $7 + e^{-4}$.