Номер 22.16, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.16. Докажите, что функция:

1) $y = 0,4^{1-5x}$ на множестве действительных чисел возрастает;

2) $f(x) = 2^{1-2x}$ на множестве действительных чисел убывает;

3) $\varphi(x) = x^3 + e^{x^2+3x}$ на множестве действительных чисел возрастает;

4) $h(x) = e^{-x} - x^5$ на множестве действительных чисел убывает.

1)

Для того чтобы доказать, что функция $y = 0,4^{1 - 5x}$ возрастает на множестве действительных чисел, необходимо найти ее производную и определить ее знак. Если производная положительна на всей области определения, то функция возрастает.

Функция $y$ является сложной показательной функцией вида $a^u$, где основание $a = 0,4$ и показатель $u(x) = 1 - 5x$. Производная такой функции ищется по формуле $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.

Найдем производную показателя: $u'(x) = (1 - 5x)' = -5$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$y' = (0,4^{1 - 5x})' = 0,4^{1 - 5x} \cdot \ln(0,4) \cdot (-5)$.

Проанализируем знак полученной производной:

• Множитель $0,4^{1 - 5x}$ всегда положителен, так как это показательная функция с положительным основанием.
• Множитель $\ln(0,4)$ отрицателен, так как логарифм числа, которое меньше 1, всегда отрицателен.
• Множитель $(-5)$ также отрицателен.

Произведение положительного числа на два отрицательных числа дает положительный результат: $y' = (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.

Поскольку $y' > 0$ для всех $x$ из множества действительных чисел, функция $y = 0,4^{1 - 5x}$ является возрастающей на этом множестве. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2^{1 - 2x}$ убывает на множестве действительных чисел, найдем ее производную. Если производная отрицательна на всей области определения, то функция убывает.

Функция $f(x)$ — это сложная показательная функция вида $a^u$, где $a = 2$ и $u(x) = 1 - 2x$. Ее производная равна $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.

Производная показателя: $u'(x) = (1 - 2x)' = -2$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (2^{1 - 2x})' = 2^{1 - 2x} \cdot \ln(2) \cdot (-2)$.

Проанализируем знак производной:

• Множитель $2^{1 - 2x}$ всегда положителен.
• Множитель $\ln(2)$ положителен, так как логарифм числа, которое больше 1, положителен.
• Множитель $(-2)$ отрицателен.

Произведение двух положительных чисел и одного отрицательного дает отрицательный результат: $f'(x) = (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.

Так как $f'(x) < 0$ для всех действительных $x$, функция $f(x) = 2^{1 - 2x}$ убывает на множестве действительных чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3)

Чтобы доказать, что функция $\varphi(x) = x^3 + e^{2 + 3x}$ возрастает на множестве действительных чисел, найдем ее производную. Функция является суммой двух функций, поэтому ее производная равна сумме производных.

$\varphi'(x) = (x^3)' + (e^{2 + 3x})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x^3)' = 3x^2$.

Производная второго слагаемого, $(e^{2 + 3x})'$, ищется как производная сложной функции $e^u$: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Здесь $u(x) = 2+3x$, и $u'(x)=3$.

$(e^{2 + 3x})' = e^{2 + 3x} \cdot 3 = 3e^{2 + 3x}$.

Таким образом, производная функции $\varphi(x)$:

$\varphi'(x) = 3x^2 + 3e^{2 + 3x}$.

Определим знак производной. Слагаемое $3x^2$ всегда неотрицательно ($3x^2 \ge 0$). Слагаемое $3e^{2 + 3x}$ всегда строго положительно, так как экспонента $e^u$ всегда больше нуля. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда строго положительна.

Следовательно, $\varphi'(x) > 0$ для всех $x \in R$, а значит, функция $\varphi(x)$ возрастает на множестве действительных чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

4)

Чтобы доказать, что функция $h(x) = e^{-x} - x^5$ убывает на множестве действительных чисел, найдем ее производную. Производная разности равна разности производных.

$h'(x) = (e^{-x})' - (x^5)'$.

Найдем производные:

$(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

$(x^5)' = 5x^4$.

Тогда производная функции $h(x)$ равна:

$h'(x) = -e^{-x} - 5x^4$.

Определим знак производной. Слагаемое $-e^{-x}$ всегда строго отрицательно, так как $e^{-x}$ всегда положительно. Слагаемое $-5x^4$ всегда неположительно ($ \le 0$), так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Сумма строго отрицательного числа ($-e^{-x}$) и неположительного числа ($-5x^4$) всегда будет строго отрицательной. Если $x=0$, $h'(0) = -e^0 - 0 = -1 < 0$. Если $x \ne 0$, то $-5x^4 < 0$, и $h'(x)$ является суммой двух отрицательных чисел, что также меньше нуля.

Таким образом, $h'(x) < 0$ для всех $x \in R$, и функция $h(x) = e^{-x} - x^5$ убывает на множестве действительных чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.