Номер 22.23, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.23. Найдите значение выражения:

1) $4^{1 - \log_2 1.5 - \log_2 \frac{1}{3}} - \log_3 243$;

2) $\log_9 27 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3}.$

1) $4^{1 - \log_2 1.5 - \log_2 \frac{1}{3}} - \log_3 243$

Решим выражение по частям. Сначала упростим показатель степени первого слагаемого, используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$1 - \log_2 1.5 - \log_2 \frac{1}{3} = 1 - (\log_2 1.5 + \log_2 \frac{1}{3}) = 1 - \log_2 (1.5 \cdot \frac{1}{3}) = 1 - \log_2 (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}) = 1 - \log_2 (\frac{1}{2})$

Так как $\log_2 (\frac{1}{2}) = \log_2 2^{-1} = -1$, то показатель степени равен:

$1 - (-1) = 2$

Теперь вычислим значение первого слагаемого:

$4^2 = 16$

Далее вычислим второе слагаемое, $\log_3 243$. Найдём, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 243:

$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243$.

Следовательно, $\log_3 243 = 5$.

Наконец, найдем разность полученных значений:

$16 - 5 = 11$

Ответ: 11

2) $\log_9 27 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности. Для второго и третьего слагаемых воспользуемся свойством логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$, которое следует из формулы перехода к новому основанию.

Первое слагаемое: $\log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2}$.

Второе слагаемое: $\frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} = \log_3 6 \cdot \frac{1}{\log_{18} 3} = \log_3 6 \cdot \log_3 18$.

Третье слагаемое: $\frac{\log_3 2}{\log_{54} 3} = \log_3 2 \cdot \frac{1}{\log_{54} 3} = \log_3 2 \cdot \log_3 54$.

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$\frac{3}{2} + \log_3 6 \cdot \log_3 18 - \log_3 2 \cdot \log_3 54$

Разложим логарифмы, используя свойство $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_3 6 = \log_3(2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1$

$\log_3 18 = \log_3(2 \cdot 9) = \log_3 2 + \log_3 9 = \log_3 2 + 2$

$\log_3 54 = \log_3(2 \cdot 27) = \log_3 2 + \log_3 27 = \log_3 2 + 3$

Для удобства введем замену $x = \log_3 2$. Подставим это в выражение:

$\frac{3}{2} + (x+1)(x+2) - x(x+3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\frac{3}{2} + (x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 3x) = \frac{3}{2} + (x^2 + 3x + 2) - x^2 - 3x$

Сократим подобные слагаемые ($x^2$ и $3x$):

$\frac{3}{2} + 2$

Вычислим окончательное значение:

$\frac{3}{2} + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$

Ответ: 3,5