Номер 22.21, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.21. Подготовьте сообщение о развитии понятий показательная и логарифмическая функции.

Развитие понятий показательной и логарифмической функций: от вычислительного инструмента к фундаментальным концепциям

История показательной и логарифмической функций — это увлекательный путь от практической необходимости упростить вычисления до осознания их фундаментальной роли в математике и естественных науках. Эти понятия развивались не одновременно: логарифмы были изобретены для нужд астрономии задолго до того, как показательная функция была осмыслена как самостоятельный математический объект.

1. Предшественники: от древности до эпохи Возрождения

Зачатки идей, лежащих в основе показательной функции, можно найти еще в древности. Математики Древнего Вавилона уже умели решать задачи на сложные проценты, что по своей сути является примером геометрической прогрессии — дискретного аналога показательной функции. Архимед в своей работе «Псаммит» («Исчисление песчинок») сопоставлял члены арифметической ($1, 2, 3, ...$) и геометрической ($10, 100, 1000, ...$) прогрессий, что является прообразом идеи логарифмирования, то есть замены умножения сложением.

В XV веке немецкий математик Михаэль Штифель в своем труде «Arithmetica integra» (1544 г.) систематизировал знания о степенях, ввел понятие отрицательных показателей и впервые использовал термин «показатель» (exponent). Он также составил небольшую таблицу, сопоставлявшую целые степени числа 2 (геометрическая прогрессия) и их показатели (арифметическая прогрессия), явно указав на то, что умножению и делению чисел в нижнем ряду соответствует сложение и вычитание чисел в верхнем ряду. Это было прямым шагом к изобретению логарифмов.

2. Изобретение логарифмов: революция в вычислениях (XVII век)

В конце XVI – начале XVII веков, в эпоху Великих географических открытий, резко возросла потребность в сложных астрономических и навигационных расчетах. Умножение и деление многозначных чисел, извлечение корней занимали огромное количество времени и приводили к ошибкам. Задача упрощения вычислений стала крайне актуальной.

Решение было найдено шотландским математиком Джоном Непером. В 1614 году он опубликовал свой труд «Описание удивительной таблицы логарифмов». Непер определил логарифм кинематически, сравнивая движение двух точек. Одна точка движется по отрезку с постоянной скоростью (ее пройденный путь — арифметическая прогрессия, то есть логарифм), а вторая — по другому отрезку так, что ее скорость пропорциональна оставшемуся пути (ее путь — геометрическая прогрессия, то есть само число). Это привело к созданию системы логарифмов, близкой к натуральным, но с основанием $1/e$. Главное свойство $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ позволило заменить трудоемкое умножение простым сложением.

Почти одновременно и независимо от Непера свою систему логарифмов разработал швейцарский математик и часовщик Йост Бюрги, но его таблицы были опубликованы позже, в 1620 году.

Идея Непера была с восторгом встречена научным сообществом. Английский профессор Генри Бригс предложил Неперу усовершенствовать систему, взяв за основание число 10. Так появились десятичные (или обыкновенные) логарифмы, которые оказались гораздо удобнее для практических вычислений. Таблицы логарифмов Бригса стали незаменимым инструментом для ученых, инженеров и мореплавателей на следующие 300 лет, вплоть до изобретения калькуляторов.

3. Становление показательной функции и гений Эйлера (XVIII век)

Изначально показательная функция $y = a^x$ не рассматривалась как самостоятельная функция. Она воспринималась лишь как операция, обратная к логарифмированию: если $x = \log_a y$, то $y$ — это «антилогарифм» числа $x$.

Ключевую роль в становлении современного понимания показательной и логарифмической функций сыграл великий математик Леонард Эйлер в XVIII веке. Именно он:

1. Ввел в математику показательную функцию $y=a^x$ и логарифмическую функцию $y=\log_a x$ как полноценные, взаимообратные функции.

2. Обосновал фундаментальную важность числа $e \approx 2.71828...$ (названного в его честь числом Эйлера) как «естественного» основания для показательной функции и логарифмов. Он показал, что производная функции $e^x$ равна самой себе: $(e^x)' = e^x$.

3. Определил показательную функцию и логарифм для комплексных чисел и вывел свою знаменитую формулу $e^{ix} = \cos x + i \sin x$, которая установила глубокую связь между показательной функцией, тригонометрическими функциями и комплексными числами.

Труды Эйлера превратили показательную и логарифмическую функции из чисто вычислительного средства в одни из важнейших объектов математического анализа.

4. Современное понимание и применение

В XIX веке, с развитием теории пределов, было дано строгое определение степени с иррациональным показателем. Например, $a^x$ для иррационального $x$ определяется как предел последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $x$: $a^x = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$.

Сегодня показательная и логарифмическая функции применяются практически во всех областях науки и техники для описания процессов, скорость которых пропорциональна текущему значению величины:

- Физика: радиоактивный распад, барометрическая формула, затухающие колебания.

- Биология и экология: рост популяций бактерий, модели "хищник-жертва".

- Экономика: расчет сложных процентов, модели экономического роста.

- Химия: скорость химических реакций, шкала кислотности pH.

- Информатика: оценка сложности алгоритмов (например, логарифмическая сложность $O(\log n)$).

- Сейсмология: шкала Рихтера для измерения магнитуды землетрясений является логарифмической.

Таким образом, понятия, рожденные из необходимости упростить расчеты движения планет, превратились в универсальный язык для описания широчайшего круга явлений в окружающем нас мире.