Номер 22.18, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.18. Найдите значения $x$, при которых производная функции

$y = x + 2\ln x$:

1) равна нулю;

2) положительна;

3) отрицательна;

4) неотрицательна.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $y = x + 2\ln x$ удовлетворяет заданным условиям, сначала найдем саму производную и ее область определения.

Область определения исходной функции $y = x + 2\ln x$ определяется условием $x > 0$, так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $y'$ по правилам дифференцирования:

$y' = (x + 2\ln x)' = (x)' + (2\ln x)' = 1 + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 + \frac{2}{x}$.

Производная $y'$ определена для всех $x \neq 0$. Учитывая область определения исходной функции, мы будем рассматривать производную только при $x > 0$.

Теперь проанализируем производную $y' = 1 + \frac{2}{x}$ при $x > 0$.

Так как $x > 0$, то и дробь $\frac{2}{x} > 0$.

Следовательно, $y' = 1 + \frac{2}{x} > 1$. Это означает, что для всех $x$ из области определения функции ее производная строго больше 1.

Теперь ответим на вопросы задачи, основываясь на этом выводе.

1) равна нулю

Нужно найти $x$, при которых $y' = 0$.

$1 + \frac{2}{x} = 0$

$\frac{2}{x} = -1$

$x = -2$

Это значение не входит в область определения функции ($x > 0$). Также, как мы выяснили ранее, $y' > 1$ для всех допустимых $x$, поэтому производная никогда не может быть равна нулю.

Ответ: таких значений $x$ нет.

2) положительна

Нужно найти $x$, при которых $y' > 0$.

$1 + \frac{2}{x} > 0$

Так как для всех $x$ из области определения ($x > 0$) мы установили, что $y' > 1$, то неравенство $y' > 0$ выполняется для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) отрицательна

Нужно найти $x$, при которых $y' < 0$.

$1 + \frac{2}{x} < 0$

Поскольку $y' > 1$ для всех $x > 0$, производная никогда не может быть отрицательной. Следовательно, это неравенство не имеет решений в области определения функции.

Ответ: таких значений $x$ нет.

4) неотрицательна

Нужно найти $x$, при которых $y' \ge 0$.

$1 + \frac{2}{x} \ge 0$

Это условие означает, что производная либо положительна, либо равна нулю. Мы уже знаем, что она никогда не равна нулю (в области определения), но всегда положительна. Таким образом, это условие выполняется для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.