Номер 22.17, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.17. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $g(x) = e^{3x-6}$, $x_0 = 2;$

2) $f(x) = x^{-2} \cdot \ln(4x + 3)$, $x_0 = -0,5;$

3) $f(x) = x^{-3} \cdot \ln(2x - 3)$, $x_0 = 2;$

4) $f(x) = x^{-2} \cdot e^{1+2x}$, $x_0 = -0,5.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для каждого случая необходимо найти значение функции $f(x_0)$ в точке касания, производную функции $f'(x)$ и значение производной в точке касания $f'(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$ (здесь функция обозначена как $g(x)$):

$g(x_0) = g(2) = e^{3 \cdot 2 - 6} = e^{6-6} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$g'(x) = (e^{3x-6})' = e^{3x-6} \cdot (3x-6)' = 3e^{3x-6}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$g'(x_0) = g'(2) = 3e^{3 \cdot 2 - 6} = 3e^0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $g(x_0) = 1$, $g'(x_0) = 3$ и $x_0 = 2$ в уравнение касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 1 + 3(x - 2)$.

5. Упростим полученное уравнение:

$y = 1 + 3x - 6$

$y = 3x - 5$.

Ответ: $y = 3x - 5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot \ln(4(-0,5) + 3) = (-\frac{1}{2})^{-2} \cdot \ln(-2+3) = 4 \cdot \ln(1) = 4 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot \ln(4x+3) + x^{-2} \cdot (\ln(4x+3))'$

$f'(x) = -2x^{-3} \ln(4x+3) + x^{-2} \cdot \frac{1}{4x+3} \cdot 4 = -\frac{2\ln(4x+3)}{x^3} + \frac{4}{x^2(4x+3)}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -\frac{2\ln(4(-0,5)+3)}{(-0,5)^3} + \frac{4}{(-0,5)^2(4(-0,5)+3)}$

Поскольку $\ln(4(-0,5)+3) = \ln(1) = 0$, первое слагаемое равно нулю.

$f'(-0,5) = 0 + \frac{4}{0,25 \cdot (1)} = \frac{4}{0,25} = 16$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$, $f'(x_0) = 16$ и $x_0 = -0,5$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 16(x - (-0,5)) = 16(x + 0,5)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 16x + 8$.

Ответ: $y = 16x + 8$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^{-3} \cdot \ln(2 \cdot 2 - 3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(4-3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(1) = \frac{1}{8} \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения:

$f'(x) = (x^{-3})' \cdot \ln(2x-3) + x^{-3} \cdot (\ln(2x-3))'$

$f'(x) = -3x^{-4} \ln(2x-3) + x^{-3} \cdot \frac{1}{2x-3} \cdot 2 = -\frac{3\ln(2x-3)}{x^4} + \frac{2}{x^3(2x-3)}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = -\frac{3\ln(2 \cdot 2 - 3)}{2^4} + \frac{2}{2^3(2 \cdot 2 - 3)}$

Поскольку $\ln(2 \cdot 2 - 3) = \ln(1) = 0$, первое слагаемое равно нулю.

$f'(2) = 0 + \frac{2}{8 \cdot 1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$, $f'(x_0) = 0,25$ и $x_0 = 2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 0,25(x - 2)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 0,25x - 0,5$.

Ответ: $y = 0,25x - 0,5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot e^{1+2(-0,5)} = (-\frac{1}{2})^{-2} \cdot e^{1-1} = 4 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 = 4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot e^{1+2x} + x^{-2} \cdot (e^{1+2x})'$

$f'(x) = -2x^{-3} e^{1+2x} + x^{-2} \cdot e^{1+2x} \cdot 2 = 2e^{1+2x}(-\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2})$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -2(-0,5)^{-3} e^{1+2(-0,5)} + (-0,5)^{-2} \cdot 2e^{1+2(-0,5)}$

$f'(-0,5) = -2 \cdot (-8) \cdot e^0 + 4 \cdot 2 \cdot e^0 = 16 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = 16 + 8 = 24$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 4$, $f'(x_0) = 24$ и $x_0 = -0,5$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 24(x - (-0,5)) = 4 + 24(x + 0,5)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 4 + 24x + 12$

$y = 24x + 16$.

Ответ: $y = 24x + 16$.