Номер 22.22, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.22. Упростите выражение:

1) $ ((b^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.8})^3 \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} $;

2) $ ((a^{-\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{3}{14}})^3 \cdot y^{1.5} \cdot a^{-\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $.

1) Упростим выражение $ ((b^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.8})^3 \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} $.

Сначала раскроем внутренние скобки, возведя каждый множитель в степень 3, используя свойство $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:

$ (b^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0.8 \cdot 3} \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} = (b^{-\frac{9}{7}} \cdot y^{-2.4} \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} $

Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя свойство $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ ( (b^{-\frac{9}{7}} \cdot b^{\frac{3}{7}}) \cdot (y^{-2.4} \cdot y^{0.4}) )^{-1} = (b^{-\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} \cdot y^{-2.4 + 0.4})^{-1} = (b^{-\frac{6}{7}} \cdot y^{-2})^{-1} $

Наконец, возведем полученное выражение в степень -1, умножив каждый показатель на -1:

$ (b^{-\frac{6}{7}})^{-1} \cdot (y^{-2})^{-1} = b^{-\frac{6}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-2 \cdot (-1)} = b^{\frac{6}{7}} \cdot y^2 $

Ответ: $b^{\frac{6}{7}}y^2$

2) Упростим выражение $ ((a^{-\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{3}{14}})^{3.5} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $.

Сначала представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $ 3.5 = \frac{7}{2} $.

$ ((a^{-\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{3}{14}})^{\frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $

Раскроем внутренние скобки, возведя каждый множитель в степень $ \frac{7}{2} $:

$ (a^{-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} = (a^{-1} \cdot y^{\frac{21}{28}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $

Упростим показатель степени у $ y $: $ \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $.

$ (a^{-1} \cdot y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:

$ ( (a^{-1} \cdot a^{-3}) \cdot (y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{7}{4}}) )^{-1} = (a^{-1-3} \cdot y^{\frac{3}{4}+\frac{7}{4}})^{-1} = (a^{-4} \cdot y^{\frac{10}{4}})^{-1} $

Упростим показатель степени у $ y $: $ \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $.

$ (a^{-4} \cdot y^{\frac{5}{2}})^{-1} $

Возведем полученное выражение в степень -1:

$ (a^{-4})^{-1} \cdot (y^{\frac{5}{2}})^{-1} = a^{-4 \cdot (-1)} \cdot y^{\frac{5}{2} \cdot (-1)} = a^4 \cdot y^{-\frac{5}{2}} $

Ответ: $a^4y^{-\frac{5}{2}}$