Номер 22.7, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$;

2) $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 4$, $x = 10$;

3) $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -0,3$, $x = -1$;

4) $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -3$, $x = -2$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл. Если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a, b]$, то площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

1) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 3$. На отрезке $[1, 3]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ положительна ($f(x) > 0$). Следовательно, площадь фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_{1}^{3} = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) - 0 = \ln(3)$.

Ответ: $\ln(3)$.

2) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 4$ и $x = 10$. На отрезке $[4, 10]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ также положительна. Вычисляем площадь:

$S = \int_{4}^{10} \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_{4}^{10} = \ln(10) - \ln(4) = \ln(\frac{10}{4}) = \ln(\frac{5}{2}) = \ln(2.5)$.

Ответ: $\ln(2.5)$.

3) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -0.3$ и $x = -1$. Пределы интегрирования располагаем в порядке возрастания: от $-1$ до $-0.3$. На отрезке $[-1, -0.3]$ переменная $x$ отрицательна, поэтому $\frac{1}{x} < 0$, а функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Вычисляем площадь:

$S = \int_{-1}^{-0.3} \left(-\frac{1}{x}\right) \,dx = -\int_{-1}^{-0.3} \frac{1}{x} \,dx = -[\ln|x|]_{-1}^{-0.3} = -(\ln|-0.3| - \ln|-1|) = -(\ln(0.3) - \ln(1)) = -(\ln(0.3) - 0) = -\ln(0.3)$.

Используя свойство логарифмов $-\ln(a) = \ln(\frac{1}{a})$, получаем:

$S = \ln\left(\frac{1}{0.3}\right) = \ln\left(\frac{10}{3}\right)$.

Ответ: $\ln\left(\frac{10}{3}\right)$.

4) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -3$ и $x = -2$. Пределы интегрирования: от $-3$ до $-2$. На этом отрезке, как и в предыдущем пункте, функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Вычисляем площадь:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(-\frac{1}{x}\right) \,dx = -\int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} \,dx = -[\ln|x|]_{-3}^{-2} = -(\ln|-2| - \ln|-3|) = -(\ln(2) - \ln(3)) = \ln(3) - \ln(2)$.

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:

$S = \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln(1.5)$.

Ответ: $\ln(1.5)$.