Вопросы, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Почему для вывода формулы производной показательной функции из семейства функции $y = a^x$ специально выделяется функция $y = e^x$?

2. На чем основан вывод формулы производной логарифмической функции?

3. Каково соотношение между производными функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

1. Для вывода формулы производной показательной функции $y=a^x$ используется ее определение через предел: $(a^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^x (a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} = a^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$. Значение предела $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$ зависит только от основания $a$ и является некоторой константой. Существует уникальное число, обозначаемое буквой $e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$), для которого этот предел равен 1. То есть, по определению числа $e$: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1$. Благодаря этому свойству производная функции $y=e^x$ оказывается равной самой функции: $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$. Это уникальное и простое свойство делает функцию $y=e^x$ основной (натуральной) показательной функцией. Производную любой другой показательной функции $y=a^x$ можно легко найти, представив ее через основание $e$: $a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \ln a}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $(a^x)' = (e^{x \ln a})' = e^{x \ln a} \cdot (x \ln a)' = a^x \cdot \ln a$. Таким образом, функция $y=e^x$ выделяется, так как ее производная максимально проста, что делает ее эталоном для вывода общей формулы. Ответ: Функция $y=e^x$ выделяется потому, что она обладает уникальным свойством: ее производная равна самой функции. Это свойство, следующее из определения числа $e$, значительно упрощает вывод общей формулы производной для любой показательной функции $y=a^x$.

2. Вывод формулы производной логарифмической функции $y = \log_a x$ основан на правиле дифференцирования обратной функции. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной к показательной функции $x = a^y$. Формула для производной обратной функции имеет вид: $y_x' = \frac{1}{x_y'}$. В нашем случае, $x(y) = a^y$. Мы уже знаем производную этой функции по переменной $y$: $x_y' = (a^y)' = a^y \ln a$. Подставив это выражение в формулу для производной обратной функции, получим: $y_x' = (\log_a x)' = \frac{1}{a^y \ln a}$. Чтобы выразить результат через $x$, мы используем исходное соотношение $x = a^y$. Заменив $a^y$ на $x$, получаем итоговую формулу: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В частном случае для натурального логарифма $y = \ln x$ (где основание $a=e$), формула упрощается, так как $\ln e = 1$, и производная равна $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Ответ: Вывод формулы производной логарифмической функции основан на том, что она является обратной к показательной функции, и используется теорема о производной обратной функции.

3. Функции $y = e^x$ и $y = \ln x$ являются взаимно обратными. Найдем их производные. Производная показательной функции $y=e^x$ равна самой функции: $(e^x)' = e^x$. Производная натурального логарифма $y=\ln x$ равна: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Основное соотношение между этими производными вытекает из правила дифференцирования обратной функции. Если $f(x) = e^x$ и $g(x) = \ln x = f^{-1}(x)$, то их производные связаны формулой $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$. Проверим это: $f'(x)=e^x$, тогда $f'(g(x)) = f'(\ln x) = e^{\ln x} = x$. Подставляя в формулу, получаем $g'(x) = \frac{1}{x}$, что совпадает с известной производной для $\ln x$. Таким образом, производная функции $y=\ln x$ является величиной, обратной значению производной функции $y=e^x$, вычисленной в точке $y=\ln x$. Ответ: Производная функции $y=e^x$ равна $e^x$, а производная обратной ей функции $y=\ln x$ равна $\frac{1}{x}$. Эти производные связаны через правило дифференцирования обратной функции: производная $(\ln x)'$ равна $\frac{1}{e^{\ln x}}$.