Номер 22.1, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.1. Найдите производную заданной функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 3^{x^2 - 7x}$;

2) $f(x) = 2^{x + 3x^2}$;

3) $f(x) = 0.8^{1 - x^3}$;

4) $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x}$.

1) Дана функция $f(x) = 3^{x^2 - 7x}$. Это сложная функция вида $a^{u(x)}$, где $a=3$ и $u(x) = x^2 - 7x$. Ее производная находится по формуле $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

Сначала найдем производную показателя степени $u'(x)$: $u'(x) = (x^2 - 7x)' = (x^2)' - (7x)' = 2x - 7$.

Теперь подставим все в формулу производной сложной функции: $f'(x) = (3^{x^2 - 7x})' = 3^{x^2 - 7x} \cdot \ln(3) \cdot (2x - 7)$.

Запишем в более стандартном виде:

$f'(x) = (2x - 7) \cdot 3^{x^2 - 7x} \ln(3)$.

Ответ: $f'(x) = (2x - 7) \cdot 3^{x^2 - 7x} \ln(3)$.

2) Дана функция $f(x) = 2^x + 3x^2$. Эта функция является суммой двух функций: $g(x) = 2^x$ и $h(x) = 3x^2$. Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = g'(x) + h'(x)$.

Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln(a)$. Для $g(x) = 2^x$: $g'(x) = (2^x)' = 2^x \ln(2)$.

Производная степенной функции $(cx^n)' = cnx^{n-1}$. Для $h(x) = 3x^2$: $h'(x) = (3x^2)' = 3 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 6x$.

Теперь сложим найденные производные: $f'(x) = 2^x \ln(2) + 6x$.

Ответ: $f'(x) = 2^x \ln(2) + 6x$.

3) Дана функция $f(x) = 0.8^{1-x^3}$. Это сложная функция вида $a^{u(x)}$, где $a=0.8$ и $u(x) = 1-x^3$. Используем ту же формулу, что и в первом пункте: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

Найдем производную показателя степени $u'(x)$: $u'(x) = (1 - x^3)' = (1)' - (x^3)' = 0 - 3x^2 = -3x^2$.

Подставляем в формулу производной сложной функции: $f'(x) = (0.8^{1-x^3})' = 0.8^{1-x^3} \cdot \ln(0.8) \cdot (-3x^2)$.

Перегруппируем множители: $f'(x) = -3x^2 \cdot 0.8^{1-x^3} \ln(0.8)$.

Ответ: $f'(x) = -3x^2 \cdot 0.8^{1-x^3} \ln(0.8)$.

4) Дана функция $f(x) = (\frac{1}{7})^{4-x}$. Для удобства преобразуем функцию, используя свойство степеней $(\frac{1}{a})^b = a^{-b}$: $f(x) = (7^{-1})^{4-x} = 7^{-(4-x)} = 7^{x-4}$.

Теперь мы имеем сложную функцию вида $a^{u(x)}$, где $a=7$ и $u(x) = x-4$. Используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

Найдем производную показателя степени $u'(x)$: $u'(x) = (x-4)' = 1$.

Теперь найдем производную всей функции: $f'(x) = (7^{x-4})' = 7^{x-4} \cdot \ln(7) \cdot 1 = 7^{x-4} \ln(7)$.

Можно вернуть ответ к исходному основанию степени: $7^{x-4} = (\frac{1}{7})^{4-x}$. Тогда $f'(x) = (\frac{1}{7})^{4-x} \ln(7)$.

Ответ: $f'(x) = 7^{x-4} \ln(7)$ (или $f'(x) = (\frac{1}{7})^{4-x} \ln(7)$).