Номер 21.10, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите области определения функции $y = f(x)$ (21.10—21.12):

21.10. 1) $f(x) = \sqrt{x + 2} - \log_{1.1}(6 - 2x);$

2) $f(x) = \sqrt{3 - x} + \log_5(9 + 4x);$

3) $f(x) = \log_2(x^2 - 1) + \sqrt{5 - x};$

4) $f(x) = \log_{0.8}(1 - x^4) - \sqrt{x - 0.7}.$

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+2} - \log_{1,1}(6 - 2x)$ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых. Для этого необходимо, чтобы выполнялись два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ 6 - 2x > 0. \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x \ge -2, \\ -2x > -6. \end{cases}$

Разделим второе неравенство на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$\begin{cases} x \ge -2, \\ x < 3. \end{cases}$

Пересечение этих двух условий дает промежуток $x \in [-2; 3)$.

Ответ: $[-2; 3)$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{3 - x} + \log_5(9 + 4x)$ область определения также находится из системы неравенств, учитывая свойства корня и логарифма:

$\begin{cases} 3 - x \ge 0, \\ 9 + 4x > 0. \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} -x \ge -3, \\ 4x > -9. \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 3, \\ x > -\frac{9}{4}. \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем промежуток $-\frac{9}{4} < x \le 3$.

Ответ: $(-\frac{9}{4}; 3]$.

3) Для функции $f(x) = \log_2(x^2 - 1) + \sqrt{5 - x}$ область определения находится из системы:

$\begin{cases} x^2 - 1 > 0, \\ 5 - x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0$. Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 1$. То есть, $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $5 - x \ge 0 \implies -x \ge -5 \implies x \le 5$. То есть, $x \in (-\infty; 5]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и $(-\infty; 5]$.

Пересечение дает нам объединение двух промежутков: $(-\infty; -1)$ и $(1; 5]$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; 5]$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_{0,8}(1 - x^4) - \sqrt{x - 0,7}$ задается системой неравенств:

$\begin{cases} 1 - x^4 > 0, \\ x - 0,7 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство: $1 - x^4 > 0 \implies x^4 < 1$. Это неравенство равносильно $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$.

Решим второе неравенство: $x - 0,7 \ge 0 \implies x \ge 0,7$.

Найдем пересечение решений: $-1 < x < 1$ и $x \ge 0,7$.

Общим решением системы является промежуток $0,7 \le x < 1$.

Ответ: $[0,7; 1)$.