Номер 21.4, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.4. На основании какого свойства логарифмической функции можно утверждать, что:

1) $\lg 7 > \lg 5$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$?

Данные утверждения можно сделать на основании свойства монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. Характер монотонности (возрастание или убывание) определяется основанием логарифма $a$.

1) $\lg 7 > \lg 5$;

Логарифмическая функция $y = \lg x$ представляет собой десятичный логарифм, основание которого $a=10$. Поскольку основание $a > 1$ (так как $10 > 1$), функция является монотонно возрастающей. Это означает, что для любых положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то и $\log_a x_2 > \log_a x_1$. В данном случае сравниваются значения функции для аргументов $7$ и $5$. Так как $7 > 5$, то значение логарифма для большего аргумента будет больше, то есть $\lg 7 > \lg 5$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве монотонного возрастания логарифмической функции, так как ее основание $a=10$ больше 1.

2) $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$?

Логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ имеет основание $a = \frac{1}{3}$. Поскольку основание $0 < a < 1$ (так как $0 < \frac{1}{3} < 1$), функция является монотонно убывающей. Это означает, что для любых положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 < \log_a x_1$. В данном случае сравниваются значения функции для аргументов $7$ и $5$. Так как $7 > 5$, то значение логарифма для большего аргумента будет меньше, то есть $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве монотонного убывания логарифмической функции, так как ее основание $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале от 0 до 1.