Номер 20.32, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.32. Постройте график функции в программе "Живая геометрия" и найдите множество значений:

1) $f(x) = 2^{x+1}$;

2) $f(x) = 2^{x-2}$;

3) $f(x) = -e^x$;

4) $f(x) = -e^{2x}$.

1) $f(x) = 2^{x+1}$

График функции $f(x) = 2^{x+1}$ получается из графика базовой показательной функции $g(x) = 2^x$ сдвигом на 1 единицу влево по оси $Ox$. Множество значений функции $g(x) = 2^x$ является интервалом $(0, +\infty)$, так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Сдвиг графика влево или вправо не изменяет его множество значений. Следовательно, значения функции $f(x) = 2^{x+1}$ также будут строго положительными.

Ответ: $(0, +\infty)$.

2) $f(x) = 2^x - 2$

График функции $f(x) = 2^x - 2$ получается из графика функции $g(x) = 2^x$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Мы знаем, что множество значений функции $g(x) = 2^x$ это $(0, +\infty)$, то есть $2^x > 0$. Если из каждой части этого неравенства вычесть 2, получим: $2^x - 2 > 0 - 2$, что равносильно $f(x) > -2$. Горизонтальная асимптота графика смещается с $y=0$ на $y=-2$. Таким образом, множество значений функции – это все числа, строго большие -2.

Ответ: $(-2, +\infty)$.

3) $f(x) = -e^x$

График функции $f(x) = -e^x$ получается из графика показательной функции $g(x) = e^x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Множество значений функции $g(x) = e^x$ это $(0, +\infty)$, так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$. При умножении на -1 все положительные значения становятся отрицательными. То есть, если $e^x > 0$, то $-e^x < 0$. Следовательно, $f(x) < 0$. Множество значений функции – это все отрицательные числа.

Ответ: $(-\infty, 0)$.

4) $f(x) = -e^{-2x}$

Для нахождения множества значений функции $f(x) = -e^{-2x}$ проанализируем выражение. Показательная функция $h(y) = e^y$ всегда принимает строго положительные значения для любого действительного аргумента $y$. В нашем случае аргумент равен $-2x$. Независимо от значения $x$, $-2x$ является действительным числом, поэтому $e^{-2x} > 0$. Затем это положительное значение умножается на -1. В результате получаем: $-e^{-2x} < 0$. График этой функции получается из графика $g(x) = e^x$ путем преобразований (сжатие, отражение), в результате которых он будет целиком лежать ниже оси $Ox$, не пересекая ее. Горизонтальной асимптотой является прямая $y=0$. Таким образом, множество значений функции – это все отрицательные числа.

Ответ: $(-\infty, 0)$.