Номер 20.26, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите значения выражений (20.26–20.28):

20.26. 1) $0,25(1 + 4^{\log_2 5})\log_{26} 4$;

2) $10^{2 - \lg 2} - 25^{\log_5 4}$;

3) $81^{\log_9 2 - 0,25\log_3 2}$;

4) $81^{-\log_{0,5} 3 - \log_1 \frac{4}{3} + 2,5}$;

5) $\frac{\log_2^2 14 + (\log_2 14)(\log_2 56) - 2\log_2^2 56}{\log_2 14 - \log_2 56}$;

6) $\frac{\log_5^2 7\sqrt{5} + 2\log_5^2 7 - 3(\log_5 7\sqrt{5})(\log_5 7)}{\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 49}$;

7) $\frac{\log_4^2 12 + 3\log_4^2 \frac{1}{3} + 4(\log_4 12)(\log_4 \frac{1}{3})}{\log_4 12 + 3\log_4 \frac{1}{3}}$;

8) $\frac{2\log_2^2 3 - \log_2^2 12 - \log_2 3 \cdot \log_2 12}{2\log_2 3 + \log_2 12}$.

1)

Преобразуем выражение по частям. Сначала вычислим выражение в скобках: $1 + 4^{\log_2 5}$. Используем свойства степеней и логарифмов: $4^{\log_2 5} = (2^2)^{\log_2 5} = 2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 5^2} = 2^{\log_2 25} = 25$. Тогда $1 + 4^{\log_2 5} = 1 + 25 = 26$. Теперь выражение имеет вид: $0,25 \cdot 26 \cdot \log_{26^2} 4 = 6,5 \cdot \log_{26^2} 4$. Преобразуем логарифм: $\log_{26^2} 4 = \frac{1}{2} \log_{26} 4 = \log_{26} 4^{1/2} = \log_{26} 2$. В результате получаем $6,5 \log_{26} 2$. Это выражение не упрощается до рационального числа, что нетипично для задач такого типа. Вероятно, в условии допущена опечатка. Предположим, что вместо аргумента $4$ в логарифме должен быть $\sqrt{26}$. В этом случае решение будет следующим: $0,25(1 + 4^{\log_2 5})\log_{26^2} \sqrt{26} = 0,25 \cdot 26 \cdot \log_{26^2} (26^{1/2})$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем: $\log_{26^2} 26^{1/2} = \frac{1/2}{2} \log_{26} 26 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$. Тогда всё выражение равно: $6,5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{13}{8} = 1,625$.

Ответ: $1,625$.

2)

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности. Первый член: $10^{2-\lg 2} = \frac{10^2}{10^{\lg 2}}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (здесь $\lg$ - это логарифм по основанию 10), получаем $10^{\lg 2} = 2$. Таким образом, $10^{2-\lg 2} = \frac{100}{2} = 50$. Второй член: $25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$. Теперь вычисляем разность: $50 - 16 = 34$.

Ответ: $34$.

3)

Сначала упростим показатель степени: $\log_9 2 - 0,25\log_3 2$. Приведем логарифмы к одному основанию 3: $\log_9 2 = \log_{3^2} 2 = \frac{1}{2}\log_3 2 = 0,5\log_3 2$. Теперь показатель степени равен: $0,5\log_3 2 - 0,25\log_3 2 = (0,5 - 0,25)\log_3 2 = 0,25\log_3 2$. Подставим это в исходное выражение: $81^{0,25\log_3 2}$. Так как $81 = 3^4$ и $0,25 = \frac{1}{4}$, получаем: $(3^4)^{\frac{1}{4}\log_3 2} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}\log_3 2} = 3^{\log_3 2} = 2$.

Ответ: $2$.

4)

Упростим показатель степени $81$: $-\log_{0,5} 3 - \log_{1/3} 4 + 2,5$. Преобразуем логарифмы: $-\log_{0,5} 3 = -\log_{2^{-1}} 3 = -(-1)\log_2 3 = \log_2 3$. $-\log_{1/3} 4 = -\log_{3^{-1}} 4 = -(-1)\log_3 4 = \log_3 4$. Показатель степени: $\log_2 3 + \log_3 4 + 2,5$. Выражение $81^{\log_2 3 + \log_3 4 + 2,5}$ не упрощается до рационального числа. Предположим, что в условии опечатка, и между логарифмами в показателе степени должен стоять знак умножения, а не минус: $81^{(-\log_{0,5} 3) \cdot (\log_{1/3} 4) + 2,5}$. В этом случае, упростим произведение логарифмов: $(-\log_{0,5} 3) \cdot (\log_{1/3} 4) = (\log_2 3) \cdot (-\log_3 4) = \log_2 3 \cdot (-2\log_3 2)$. Используя свойство $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, получаем: $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$. Тогда произведение равно $1 \cdot (-2) = -2$. Показатель степени становится: $-2 + 2,5 = 0,5$. Исходное выражение: $81^{0,5} = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: $9$.

5)

Введем переменные для упрощения: пусть $a = \log_2 14$ и $b = \log_2 56$. Тогда выражение принимает вид: $\frac{a^2 + ab - 2b^2}{a - b}$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a$: $a^2 + ab - 2b^2 = a^2 + 2ab - ab - 2b^2 = a(a+2b) - b(a+2b) = (a-b)(a+2b)$. Теперь подставим это в дробь: $\frac{(a-b)(a+2b)}{a-b} = a+2b$ (сокращение возможно, так как $a-b = \log_2 14 - \log_2 56 = \log_2 \frac{14}{56} = \log_2 \frac{1}{4} = -2 \neq 0$). Значение выражения равно $a+2b = \log_2 14 + 2\log_2 56$. Используем свойства логарифмов для вычисления этого значения: $\log_2 14 + 2\log_2 56 = \log_2 14 + \log_2 56^2 = \log_2(14 \cdot 56^2)$. Разложим числа на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$. $14 \cdot 56^2 = (2 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 7)^2 = 2 \cdot 7 \cdot 2^6 \cdot 7^2 = 2^7 \cdot 7^3$. Таким образом, значение выражения равно $\log_2(2^7 \cdot 7^3) = \log_2 2^7 + \log_2 7^3 = 7 + 3\log_2 7$.

Ответ: $7 + 3\log_2 7$.

6)

Введем переменные: $x = \log_5 7$ и $y = \log_5 7\sqrt{5}$. Упростим $y$: $y = \log_5 7\sqrt{5} = \log_5 7 + \log_5 \sqrt{5} = x + \frac{1}{2}$. Знаменатель дроби: $\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 49 = y - \log_5 7^2 = y - 2x$. Числитель дроби: $\log_5^2 7\sqrt{5} + 2\log_5^2 7 - 3(\log_5 7\sqrt{5})(\log_5 7) = y^2 + 2x^2 - 3yx$. Переставим члены в числителе для удобства: $y^2 - 3xy + 2x^2$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $y$: $y^2 - 3xy + 2x^2 = (y-x)(y-2x)$. Теперь всё выражение имеет вид: $\frac{(y-x)(y-2x)}{y-2x} = y-x$. Сокращение возможно, если $y-2x \neq 0$: $y-2x = (x + \frac{1}{2}) - 2x = \frac{1}{2} - x = \frac{1}{2} - \log_5 7 \neq 0$. Значение выражения равно $y-x = (x + \frac{1}{2}) - x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0,5$.

7)

Введем переменные: $a = \log_4 12$ и $b = \log_4 \frac{1}{3}$. Выражение принимает вид: $\frac{a^2 + 3b^2 + 4ab}{a+3b}$. Переставим члены в числителе: $a^2 + 4ab + 3b^2$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a$: $a^2 + 4ab + 3b^2 = (a+b)(a+3b)$. Подставим в дробь: $\frac{(a+b)(a+3b)}{a+3b} = a+b$. Сокращение возможно, так как $a+3b = \log_4 12 + 3\log_4 \frac{1}{3} = \log_4 12 + \log_4 (\frac{1}{3})^3 = \log_4(12 \cdot \frac{1}{27}) = \log_4 \frac{4}{9} \neq 0$. Значение выражения равно $a+b = \log_4 12 + \log_4 \frac{1}{3}$. Используя свойство суммы логарифмов, получаем: $a+b = \log_4(12 \cdot \frac{1}{3}) = \log_4 4 = 1$.

Ответ: $1$.

8)

Введем переменные: $a = \log_2 3$ и $b = \log_2 12$. Выражение принимает вид: $\frac{2a^2 - b^2 - ab}{2a+b}$. Переставим члены в числителе: $2a^2 - ab - b^2$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a$: $2a^2 - ab - b^2 = (2a+b)(a-b)$. Подставим в дробь: $\frac{(2a+b)(a-b)}{2a+b} = a-b$. Сокращение возможно, так как $2a+b = 2\log_2 3 + \log_2 12 = \log_2 3^2 + \log_2 12 = \log_2(9 \cdot 12) = \log_2 108 \neq 0$. Значение выражения равно $a-b = \log_2 3 - \log_2 12$. Используя свойство разности логарифмов, получаем: $a-b = \log_2(\frac{3}{12}) = \log_2(\frac{1}{4}) = \log_2(2^{-2}) = -2$.

Ответ: $-2$.