Номер 20.28, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.28. 1) $(\log_3 2 + \log_2 81 + 4) (\log_3 2 - 2\log_{18} 2) \log_2 3 - \log_3 2;$

2) $(\log_2 7 + \log_7 16 + 4) (\log_2 7 - 2\log_{28} 7) \log_7 2 - \log_2 7;$

3) $(\log_6 3 + \log_3 1296 + 4) (\log_6 3 - \log_{108} 9) \log_3 6 - \log_6 3;$

4) $(\log_5 7 + 9 \log_7 5 + 6) (\log_5 7 - 3\log_{875} 7) \log_7 5 - \log_5 7;$

5) $(\log_2 5 + 16\log_5 2 + 8) (\log_2 5 - 4\log_{80} 5) \log_5 2 - \log_2 5;$

6) $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2) (\log_4 6 - \log_{24} 6) \log_6 4 - \log_4 6.$

1) Данное выражение: $(\log_3 2 + \log_2 81 + 4)(\log_3 2 - 2\log_{18} 2)\log_2 3 - \log_3 2$.

Для упрощения введем замену: пусть $\log_3 2 = x$. Тогда, используя свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, получаем $\log_2 3 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем остальные логарифмы в выражении:

$\log_2 81 = \log_2 3^4 = 4\log_2 3 = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$.

$2\log_{18} 2 = 2 \cdot \frac{\log_3 2}{\log_3 18} = 2 \cdot \frac{x}{\log_3 (9 \cdot 2)} = 2 \cdot \frac{x}{\log_3 3^2 + \log_3 2} = \frac{2x}{2 + x}$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x + \frac{4}{x} + 4)(x - \frac{2x}{x+2})\frac{1}{x} - x$.

Упростим каждую скобку:

Первая скобка: $x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4 + 4x}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.

Вторая скобка: $x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2 + 2x - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.

Теперь подставим упрощенные скобки обратно в выражение:

$\frac{(x+2)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+2} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+2)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+2) \cdot x} - x$.

Сокращаем дроби: $(x+2) - x = 2$.

Ответ: 2

2) Данное выражение: $(\log_2 7 + \log_7 16 + 4)(\log_2 7 - 2\log_{28} 7)\log_7 2 - \log_2 7$.

Пусть $\log_2 7 = x$. Тогда $\log_7 2 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем остальные логарифмы:

$\log_7 16 = \log_7 2^4 = 4\log_7 2 = \frac{4}{x}$.

$2\log_{28} 7 = 2 \cdot \frac{\log_2 7}{\log_2 28} = 2 \cdot \frac{x}{\log_2 (4 \cdot 7)} = 2 \cdot \frac{x}{\log_2 2^2 + \log_2 7} = \frac{2x}{2 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{4}{x} + 4)(x - \frac{2x}{x+2})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4 + 4x}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.

$x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+2)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+2} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+2)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+2) \cdot x} - x = (x+2) - x = 2$.

Ответ: 2

3) Данное выражение: $(\log_6 3 + \log_3 1296 + 4)(\log_6 3 - \log_{108} 9)\log_3 6 - \log_6 3$.

Пусть $\log_6 3 = x$. Тогда $\log_3 6 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$\log_3 1296 = \log_3 6^4 = 4\log_3 6 = \frac{4}{x}$.

$\log_{108} 9 = \frac{\log_6 9}{\log_6 108} = \frac{\log_6 3^2}{\log_6 (36 \cdot 3)} = \frac{2\log_6 3}{\log_6 6^2 + \log_6 3} = \frac{2x}{2 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{4}{x} + 4)(x - \frac{2x}{x+2})\frac{1}{x} - x$.

Это выражение полностью аналогично предыдущим задачам.

$x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.

$x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.

$\frac{(x+2)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+2} \cdot \frac{1}{x} - x = (x+2) - x = 2$.

Ответ: 2

4) Данное выражение: $(\log_5 7 + 9\log_7 5 + 6)(\log_5 7 - 3\log_{875} 7)\log_7 5 - \log_5 7$.

Пусть $\log_5 7 = x$. Тогда $\log_7 5 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$9\log_7 5 = \frac{9}{x}$.

$3\log_{875} 7 = 3 \cdot \frac{\log_5 7}{\log_5 875} = 3 \cdot \frac{x}{\log_5 (125 \cdot 7)} = 3 \cdot \frac{x}{\log_5 5^3 + \log_5 7} = \frac{3x}{3 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{9}{x} + 6)(x - \frac{3x}{x+3})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{9}{x} + 6 = \frac{x^2 + 9 + 6x}{x} = \frac{(x+3)^2}{x}$.

$x - \frac{3x}{x+3} = \frac{x(x+3) - 3x}{x+3} = \frac{x^2 + 3x - 3x}{x+3} = \frac{x^2}{x+3}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+3)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+3} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+3)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+3) \cdot x} - x = (x+3) - x = 3$.

Ответ: 3

5) Данное выражение: $(\log_2 5 + 16\log_5 2 + 8)(\log_2 5 - 4\log_{80} 5)\log_5 2 - \log_2 5$.

Пусть $\log_2 5 = x$. Тогда $\log_5 2 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$16\log_5 2 = \frac{16}{x}$.

$4\log_{80} 5 = 4 \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 80} = 4 \cdot \frac{x}{\log_2 (16 \cdot 5)} = 4 \cdot \frac{x}{\log_2 2^4 + \log_2 5} = \frac{4x}{4 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{16}{x} + 8)(x - \frac{4x}{x+4})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{16}{x} + 8 = \frac{x^2 + 16 + 8x}{x} = \frac{(x+4)^2}{x}$.

$x - \frac{4x}{x+4} = \frac{x(x+4) - 4x}{x+4} = \frac{x^2 + 4x - 4x}{x+4} = \frac{x^2}{x+4}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+4)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+4} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+4)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+4) \cdot x} - x = (x+4) - x = 4$.

Ответ: 4

6) Данное выражение: $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2)(\log_4 6 - \log_{24} 6)\log_6 4 - \log_4 6$.

Пусть $\log_4 6 = x$. Тогда $\log_6 4 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$\log_{24} 6 = \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = \frac{x}{\log_4 (4 \cdot 6)} = \frac{x}{\log_4 4 + \log_4 6} = \frac{x}{1 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{1}{x} + 2)(x - \frac{x}{x+1})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 1 + 2x}{x} = \frac{(x+1)^2}{x}$.

$x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1) - x}{x+1} = \frac{x^2 + x - x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+1)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+1)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+1) \cdot x} - x = (x+1) - x = 1$.

Ответ: 1