Номер 20.21, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.21. 1) $\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5}$;

2) $(\log_3 (\log_{1/5} \frac{1}{125}))^2$;

3) $\log_4 \log_3 \sqrt{81}$;

4) $\log_{\sqrt{5}} \log_{1/5} \frac{1}{125}$;

5) $\log_{\frac{8}{27}} \log_{25} 125$;

6) $\log_{1/4} (\log_2 3 \cdot \log_3 4)$.

1) Для решения выражения $\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_5 \sqrt[8]{5}$.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[8]{5} = 5^{1/8}$.

Используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$, получаем:

$\log_5 5^{1/8} = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_2 (\frac{1}{8})$.

Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

$\log_2 2^{-3} = -3$.

Ответ: -3

2) Выражение $\log_3^2 \log_{1/5} \frac{1}{125}$ означает $(\log_3 (\log_{1/5} \frac{1}{125}))^2$.

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{1/5} \frac{1}{125}$.

Представим аргумент $\frac{1}{125}$ как степень основания $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.

Тогда $\log_{1/5} (\frac{1}{5})^3 = 3$.

Теперь подставим результат в следующий логарифм:

$\log_3 3 = 1$.

Наконец, возведем результат в квадрат:

$1^2 = 1$.

Ответ: 1

3) Для решения выражения $\log_4 \log_3 \sqrt{81}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_3 \sqrt{81}$.

$\sqrt{81} = 9$.

$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_4 2$.

Чтобы найти этот логарифм, представим основание 4 как степень числа 2: $4=2^2$.

Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_4 2 = \log_{2^2} 2^1 = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для решения выражения $\log_{\sqrt{5}} \log_{1/5} \frac{1}{125}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{1/5} \frac{1}{125}$.

Как и в задании 2, $\log_{1/5} \frac{1}{125} = \log_{1/5} (\frac{1}{5})^3 = 3$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_{\sqrt{5}} 3$.

Представим основание в виде степени: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

$\log_{5^{1/2}} 3$.

Используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получаем:

$\log_{5^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2}\log_5 3 = 2\log_5 3$.

Ответ: $2\log_5 3$

5) Для решения выражения $\log_{8/27} \log_{25} 125$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{25} 125$.

Представим основание и аргумент как степени числа 5: $25=5^2$, $125=5^3$.

Используем свойство $\log_{a^n} a^m = \frac{m}{n}$:

$\log_{25} 125 = \log_{5^2} 5^3 = \frac{3}{2}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_{8/27} (\frac{3}{2})$.

Представим основание и аргумент как степени числа $\frac{2}{3}$:

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$.

$\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$.

Получаем: $\log_{(\frac{2}{3})^3} (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{-1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

6) Для решения выражения $\log_{1/4} (\log_2 3 \cdot \log_3 4)$ сначала вычислим значение в скобках.

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$.

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_{1/4} 2$.

Представим основание $\frac{1}{4}$ как степень числа 2: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$.

$\log_{1/4} 2 = \log_{2^{-2}} 2^1 = \frac{1}{-2} \log_2 2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$