Номер 20.17, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.17. Логарифмы каких натуральных чисел, не превосходящих 100, можно вычислить, зная значения $ \lg 2 $ и $ \lg 3 $?

Обозначим десятичный логарифм как $\lg x = \log_{10} x$. По условию задачи, нам известны значения $\lg 2$ и $\lg 3$. Наша задача — найти все натуральные числа $N$ в диапазоне от 1 до 100, для которых можно вычислить $\lg N$.

Используя основные свойства логарифмов, мы можем вычислять логарифмы чисел, которые являются произведением, частным или степенью чисел, логарифмы которых нам известны.

Ключевые известные или выводимые значения:

1. $\lg 2$ (дано по условию).

2. $\lg 3$ (дано по условию).

3. $\lg 10 = 1$, так как это логарифм по основанию 10.

4. $\lg 1 = 0$.

5. Известное значение $\lg 10$ позволяет найти $\lg 5$. Поскольку $5 = 10 / 2$, то, используя свойство логарифма частного $\lg(a/b) = \lg a - \lg b$, получаем:

$\lg 5 = \lg(10/2) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2$.

Таким образом, зная $\lg 2$, мы можем вычислить и $\lg 5$.

Итак, мы можем найти логарифмы простых чисел 2, 3 и 5. Используя свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ и свойство логарифма степени $\lg(x^k) = k \lg x$, мы можем вычислить логарифм любого натурального числа $N$, которое в своем разложении на простые множители содержит только множители 2, 3 и 5.

Такие числа имеют общий вид $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^d$, где $a, b, d$ — неотрицательные целые числа. Их логарифм вычисляется по формуле: $\lg N = \lg(2^a \cdot 3^b \cdot 5^d) = a\lg 2 + b\lg 3 + d\lg 5 = a\lg 2 + b\lg 3 + d(1 - \lg 2)$.

Теперь нам нужно найти все такие числа $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^d$, которые не превосходят 100. Перечислим их, систематически перебирая степени $a, b, d$.

Числа, содержащие только простые множители 2, 3, 5, не превосходящие 100:

Степени двойки: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64$.

Степени тройки: $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81$.

Степени пятерки: $5^1=5, 5^2=25$.

Произведения степеней 2 и 3: $2 \cdot 3=6$, $2^2 \cdot 3=12$, $2^3 \cdot 3=24$, $2^4 \cdot 3=48$, $2^5 \cdot 3=96$; $2 \cdot 3^2=18$, $2^2 \cdot 3^2=36$, $2^3 \cdot 3^2=72$; $2 \cdot 3^3=54$.

Произведения степеней 2 и 5: $2 \cdot 5=10$, $2^2 \cdot 5=20$, $2^3 \cdot 5=40$, $2^4 \cdot 5=80$; $2 \cdot 5^2=50$, $2^2 \cdot 5^2=100$.

Произведения степеней 3 и 5: $3 \cdot 5=15$, $3^2 \cdot 5=45$; $3 \cdot 5^2=75$.

Произведения степеней 2, 3 и 5: $2 \cdot 3 \cdot 5=30$; $2^2 \cdot 3 \cdot 5=60$; $2 \cdot 3^2 \cdot 5=90$.

Объединив все эти числа и отсортировав их, получим итоговый список.

Ответ: Логарифмы можно вычислить для следующих натуральных чисел, не превосходящих 100:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100.