Номер 20.10, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.10. Вычислите:

1) $\log_{\frac{1}{5}} 9 + 2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3}$;

2) $\log_3 8 + 3\log_3 \frac{9}{2}$;

3) $\log_7 196 - 2\log_7 2$;

4) $\log_2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3}$.

1) В выражении $\log_{\frac{3}{5}} 9 + 2\log_{\frac{3}{5}} \frac{5}{3}$, представленном на изображении, вероятно, допущена опечатка. При решении этого выражения в исходном виде получается значение $\log_{\frac{3}{5}} 25$, которое не упрощается до рационального числа. Учитывая, что остальные задания имеют целочисленные ответы, наиболее вероятной является опечатка в основании логарифма, которое должно быть $\frac{1}{5}$. Решим исправленный вариант: $\log_{\frac{1}{5}} 9 + 2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3}$.

Сначала, используя свойство $n\log_a b = \log_a b^n$, преобразуем второе слагаемое:

$2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3} = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9}$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение и используем свойство $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$:

$\log_{\frac{1}{5}} 9 + \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9} = \log_{\frac{1}{5}} \left(9 \cdot \frac{25}{9}\right) = \log_{\frac{1}{5}} 25$

Для вычисления значения найдём, в какую степень нужно возвести основание $\frac{1}{5}$, чтобы получить $25$.

Так как $25 = 5^2$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $25 = (5^{-1})^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.

Следовательно, $\log_{\frac{1}{5}} 25 = -2$.

Ответ: -2

2) Для вычисления выражения $\log_3 8 + 3\log_3 \frac{9}{2}$ воспользуемся свойствами логарифмов.

Применим свойство $n\log_a b = \log_a b^n$ ко второму слагаемому:

$3\log_3 \frac{9}{2} = \log_3 \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_3 \frac{729}{8}$

Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$:

$\log_3 8 + \log_3 \frac{729}{8} = \log_3 \left(8 \cdot \frac{729}{8}\right) = \log_3 729$

Так как $3^6 = 729$, то значение логарифма равно 6.

$\log_3 729 = 6$

Ответ: 6

3) Для вычисления выражения $\log_7 196 - 2\log_7 2$ воспользуемся свойствами логарифмов.

Применим свойство $n\log_a b = \log_a b^n$ к вычитаемому:

$2\log_7 2 = \log_7 2^2 = \log_7 4$

Теперь используем свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$:

$\log_7 196 - \log_7 4 = \log_7 \left(\frac{196}{4}\right) = \log_7 49$

Так как $7^2 = 49$, то значение логарифма равно 2.

$\log_7 49 = 2$

Ответ: 2

4) Для вычисления выражения $\log_2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3}$ воспользуемся свойствами логарифмов.

Применим свойство $n\log_a b = \log_a b^n$ ко второму слагаемому:

$\frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3} = \log_2 \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2 \sqrt{\frac{4}{3}}$

Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$:

$\log_2 \sqrt{3} + \log_2 \sqrt{\frac{4}{3}} = \log_2 \left(\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}\right) = \log_2 \sqrt{3 \cdot \frac{4}{3}} = \log_2 \sqrt{4} = \log_2 2$

Так как $\log_a a = 1$, то $\log_2 2 = 1$.

Ответ: 1