Номер 20.6, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1) 100; 2) 0,001; 3) $10^n$;
4) $\sqrt{10}$; 5) $\sqrt[3]{10^2}$; 6) $\frac{1}{10\sqrt{10}}$?

1) Логарифм по основанию 10 (десятичный логарифм, обозначается $\lg$) — это показатель степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить исходное число. Необходимо найти $\lg(100)$.

Для этого представим число 100 в виде степени с основанием 10: $100 = 10^2$.

Исходя из определения логарифма, получаем: $\lg(100) = \lg(10^2) = 2$.

Ответ: 2

2) Необходимо найти десятичный логарифм числа 0,001, то есть $\lg(0,001)$.

Представим число 0,001 в виде степени с основанием 10. Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,001 = \frac{1}{1000}$.

Знаменатель $1000$ равен $10^3$. Тогда дробь можно записать как $\frac{1}{10^3}$.

По свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем: $\frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.

Следовательно, $\lg(0,001) = \lg(10^{-3}) = -3$.

Ответ: -3

3) Необходимо найти десятичный логарифм числа $10^n$, то есть $\lg(10^n)$.

По основному свойству логарифма $\log_b(b^x) = x$. В данном случае основание $b=10$, а показатель степени равен $n$.

Таким образом, $\lg(10^n) = n$.

Ответ: $n$

4) Необходимо найти десятичный логарифм числа $\sqrt{10}$, то есть $\lg(\sqrt{10})$.

Представим корень в виде степени с дробным показателем. Квадратный корень из числа равен этому числу в степени $\frac{1}{2}$.

То есть, $\sqrt{10} = 10^{1/2}$.

Тогда, $\lg(\sqrt{10}) = \lg(10^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

5) Необходимо найти десятичный логарифм числа $\sqrt[3]{10^2}$, то есть $\lg(\sqrt[3]{10^2})$.

Воспользуемся свойством степени для преобразования корня: $\sqrt[m]{a^n} = a^{n/m}$.

Применив это свойство, получаем: $\sqrt[3]{10^2} = 10^{2/3}$.

Следовательно, $\lg(\sqrt[3]{10^2}) = \lg(10^{2/3}) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Необходимо найти десятичный логарифм числа $\frac{1}{10\sqrt{10}}$, то есть $\lg\left(\frac{1}{10\sqrt{10}}\right)$.

Сначала упростим выражение под знаком логарифма. Преобразуем знаменатель $10\sqrt{10}$.

Так как $10 = 10^1$ и $\sqrt{10} = 10^{1/2}$, то знаменатель равен $10^1 \cdot 10^{1/2}$.

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем: $10^1 \cdot 10^{1/2} = 10^{1 + 1/2} = 10^{3/2}$.

Теперь всё выражение можно записать как $\frac{1}{10^{3/2}}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{10^{3/2}} = 10^{-3/2}$.

Таким образом, искомый логарифм равен $\lg\left(\frac{1}{10\sqrt{10}}\right) = \lg(10^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$