Номер 20.13, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите значения выражений (20.13–20.14):

20.13. 1) $\frac{25^{\log_5 2} + 1}{49^{\log_7 4}}$;

2) $\frac{16^{0.5 \log_4 10}}{10^{\log_4 1} + 1}$;

3) $25^{2 - \log_5 2} + 7^{-\log_7 3}$;

4) $\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \frac{1}{2} \log_4 \frac{25}{81}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{25^{\log_5 2} + 1}{49^{\log_7 4}}$, преобразуем числитель и знаменатель по отдельности, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойства степеней.

Сначала преобразуем числитель:

$25^{\log_5 2} + 1 = (5^2)^{\log_5 2} + 1 = 5^{2\log_5 2} + 1$.

Используя свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$5^{\log_5 2^2} + 1 = 5^{\log_5 4} + 1$.

По основному логарифмическому тождеству это равно:

$4 + 1 = 5$.

Теперь преобразуем знаменатель:

$49^{\log_7 4} = (7^2)^{\log_7 4} = 7^{2\log_7 4} = 7^{\log_7 4^2} = 7^{\log_7 16}$.

По основному логарифмическому тождеству это равно $16$.

Таким образом, значение всего выражения равно $\frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{16^{0.5 \log_4 10}}{10^{\lg 4} + 1}$, также преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Преобразуем числитель:

$16^{0.5 \log_4 10} = (4^2)^{0.5 \log_4 10} = 4^{2 \cdot 0.5 \log_4 10} = 4^{1 \cdot \log_4 10} = 4^{\log_4 10}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $10$.

Преобразуем знаменатель. Учтем, что $\lg 4$ это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 4$:

$10^{\lg 4} + 1 = 10^{\log_{10} 4} + 1$.

По основному логарифмическому тождеству это равно:

$4 + 1 = 5$.

Теперь найдем значение дроби:

$\frac{10}{5} = 2$.

Ответ: $2$.

3) Чтобы найти значение выражения $25^{2 - \log_5 2} + 7^{-\log_7 3}$, преобразуем каждое слагаемое.

Первое слагаемое, используя свойства степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$25^{2 - \log_5 2} = \frac{25^2}{25^{\log_5 2}} = \frac{625}{(5^2)^{\log_5 2}} = \frac{625}{5^{2\log_5 2}} = \frac{625}{5^{\log_5 2^2}} = \frac{625}{5^{\log_5 4}}$.

По основному логарифмическому тождеству, получаем:

$\frac{625}{4}$.

Второе слагаемое, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и свойство логарифма $- \log_a b = \log_a b^{-1}$:

$7^{-\log_7 3} = 7^{\log_7 3^{-1}} = 7^{\log_7 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{625}{4} + \frac{1}{3} = \frac{625 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} = \frac{1875 + 4}{12} = \frac{1879}{12}$.

Ответ: $\frac{1879}{12}$.

4) Чтобы найти значение выражения $\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \frac{1}{2} \log_4 \frac{25}{81}$, используем свойства логарифмов.

Сначала преобразуем третье слагаемое, используя свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:

$\frac{1}{2} \log_4 \frac{25}{81} = \log_4 \left(\left(\frac{25}{81}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_4 \sqrt{\frac{25}{81}} = \log_4 \frac{5}{9}$.

Теперь выражение имеет вид:

$\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \log_4 \frac{5}{9}$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$:

$\log_4 \left(\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9}\right)$.

Упростим выражение под знаком логарифма:

$\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 36 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{36}{9} = 4$.

Таким образом, мы получили $\log_4 4$.

По свойству $\log_a a = 1$, значение выражения равно $1$.

Ответ: $1$.