Номер 20.16, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.16. При каком основании выполняется равенство:

1) $\log_x 36 = 0.5$;

2) $\log_x 27 = \frac{3}{2}$;

3) $\log_x 64 = 1.2$;

4) $\log_x 2 = -0.5$?

1) Чтобы найти основание $x$ для равенства $\log_x 36 = 0,5$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. При этом основание логарифма должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$).

Применяя это определение к нашему случаю, получаем: $x^{0,5} = 36$.

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, уравнение можно переписать как $x^{1/2} = 36$, что то же самое, что и $\sqrt{x} = 36$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 36^2$

$x = 1296$.

Основание $x = 1296$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $1296$.

2) Для равенства $\log_x 27 = \frac{3}{2}$ применим определение логарифма.

Получаем уравнение: $x^{3/2} = 27$.

Заметим, что $27 = 3^3$. Подставим это в уравнение:

$x^{3/2} = 3^3$.

Степень $3/2$ можно представить как $(x^{1/2})^3$. Тогда уравнение примет вид:

$(x^{1/2})^3 = 3^3$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$x^{1/2} = 3$, или $\sqrt{x} = 3$.

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 3^2 = 9$.

Основание $x = 9$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $9$.

3) Рассмотрим равенство $\log_x 64 = 1,2$.

По определению логарифма: $x^{1,2} = 64$.

Переведем десятичную дробь $1,2$ в обыкновенную: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

Уравнение принимает вид: $x^{6/5} = 64$.

Число $64$ можно представить как степень двойки: $64 = 2^6$.

Подставляем это в уравнение: $x^{6/5} = 2^6$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $\frac{6}{5}$, то есть в степень $\frac{5}{6}$:

$(x^{6/5})^{5/6} = (2^6)^{5/6}$

$x^{(6/5) \cdot (5/6)} = 2^{6 \cdot (5/6)}$

$x^1 = 2^5$

$x = 32$.

Основание $x = 32$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $32$.

4) Для равенства $\log_x 2 = -0,5$ найдем основание $x$.

По определению логарифма: $x^{-0,5} = 2$.

Представим $-0,5$ в виде дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

Уравнение примет вид: $x^{-1/2} = 2$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем левую часть:

$\frac{1}{x^{1/2}} = 2$, что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt{x}} = 2$.

Отсюда выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$

$x = \frac{1}{4}$.

Основание $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.