Номер 20.12, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.12. Найдите неизвестное, используя определение логарифма:

1) $x = \log_3 27;$

2) $y = \log_2 16;$

3) $z = \log_5 625;$

4) $x = \log_2 0,125;$

5) $\log_{3/2} y = 2;$

6) $\log_{1/2} z = -3.$

1) Чтобы найти $x$ в уравнении $x = \log_3 27$, воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. В данном случае основание $b=3$, число $a=27$, а логарифм $c=x$. Следовательно, уравнение можно записать в виде показательного уравнения: $3^x = 27$. Мы знаем, что $27$ это $3$ в третьей степени, то есть $27 = 3^3$. Таким образом, получаем уравнение $3^x = 3^3$. Поскольку основания степеней равны, то равны и их показатели. Отсюда $x=3$. Ответ: $3$.

2) Для уравнения $y = \log_2 16$ применяем то же определение логарифма. Здесь основание $b=2$, число $a=16$, а логарифм $c=y$. Переписываем в виде $2^y = 16$. Представим $16$ как степень числа $2$: $16 = 2^4$. Получаем уравнение $2^y = 2^4$. Из равенства оснований следует равенство показателей, поэтому $y=4$. Ответ: $4$.

3) В уравнении $z = \log_5 625$ основание $b=5$, число $a=625$, логарифм $c=z$. По определению логарифма это равносильно уравнению $5^z = 625$. Найдем, в какую степень нужно возвести $5$, чтобы получить $625$. Так как $5^2 = 25$, $5^3 = 125$ и $5^4 = 625$, то получаем уравнение $5^z = 5^4$. Следовательно, $z=4$. Ответ: $4$.

4) В уравнении $x = \log_2 0,125$ основание $b=2$, число $a=0,125$, логарифм $c=x$. Записываем эквивалентное показательное уравнение: $2^x = 0,125$. Преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь представим $\frac{1}{8}$ как степень числа $2$. Поскольку $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Уравнение принимает вид $2^x = 2^{-3}$. Отсюда $x=-3$. Ответ: $-3$.

5) В уравнении $\log_{\frac{3}{2}} y = 2$ неизвестной является число под знаком логарифма. Используем определение: основание $b=\frac{3}{2}$, логарифм $c=2$, число $a=y$. Записываем показательное уравнение: $(\frac{3}{2})^2 = y$. Чтобы найти $y$, нужно возвести дробь в квадрат: $y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$. Ответ: $\frac{9}{4}$.

6) В уравнении $\log_{\frac{1}{2}} z = -3$ неизвестной также является число под логарифмом. Основание $b=\frac{1}{2}$, логарифм $c=-3$, число $a=z$. По определению логарифма имеем: $(\frac{1}{2})^{-3} = z$. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком: $z = (\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$. Ответ: $8$.