Номер 20.15, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.15. Сравните:

1) $9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)}$ и $\sqrt{5}$;

2) $\sqrt[3]{3}$ и $\left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2}$.

1) Сравнить $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$ и $\sqrt{5}$.

Сначала упростим первое выражение $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$.

Для этого приведем основание степени и основание логарифма к одному числу. Представим $9$ через $\frac{1}{9}$:

$9 = \frac{1}{9^{-1}} = (\frac{1}{9})^{-1}$

Подставим это в исходное выражение:

$9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})} = ((\frac{1}{9})^{-1})^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перемножим показатели:

$(\frac{1}{9})^{-1 \cdot \log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$

Теперь воспользуемся свойством логарифма $k \log_b a = \log_b a^k$ и внесем множитель -1 под знак логарифма как степень его аргумента:

$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}}((\frac{2}{3})^{-1})}$

Вычислим значение в скобках: $(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{3}{2})}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{3}{2})} = \frac{3}{2}$

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{5}$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $2.25 < 5$, то и $\frac{3}{2} < \sqrt{5}$.

Следовательно, $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})} < \sqrt{5}$.

Ответ: $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})} < \sqrt{5}$.

2) Сравнить $\sqrt[8]{3}$ и $(\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.

Сначала упростим второе выражение $(\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.

Приведем основание степени $\frac{1}{36}$ к основанию логарифма 6:

$\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$

Подставим это в выражение:

$(\frac{1}{36})^{\log_6 2} = (6^{-2})^{\log_6 2}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$6^{-2 \cdot \log_6 2}$

По свойству логарифма $k \log_b a = \log_b a^k$, внесем множитель -2 в показатель степени аргумента логарифма:

$6^{\log_6 (2^{-2})}$

Вычислим $2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Выражение примет вид:

$6^{\log_6 (\frac{1}{4})}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$6^{\log_6 (\frac{1}{4})} = \frac{1}{4}$

Теперь необходимо сравнить числа $\sqrt[8]{3}$ и $\frac{1}{4}$.

Оценим каждое из чисел относительно единицы.

Для числа $\sqrt[8]{3}$: так как $3 > 1$, то и корень любой степени из него будет больше единицы. $\sqrt[8]{3} > \sqrt[8]{1}$, следовательно $\sqrt[8]{3} > 1$.

Для числа $\frac{1}{4}$: это правильная дробь, она меньше единицы. $0 < \frac{1}{4} < 1$.

Поскольку $\sqrt[8]{3} > 1$, а $\frac{1}{4} < 1$, то очевидно, что $\sqrt[8]{3} > \frac{1}{4}$.

Следовательно, $\sqrt[8]{3} > (\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.

Ответ: $\sqrt[8]{3} > (\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.