Номер 20.14, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.14. 1) $\log_2 12 + \log_2 \frac{5}{3} + \log_2 \frac{4}{5}$;

2) $(\log_5 128) (\log_2 \frac{1}{125})$;

3) $3^{2-\log_3 5} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 5}$;

4) $9^{3-\log_3 54} + 7^{-\log_7 4}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_{2}12 + \log_{2}\frac{5}{3} + \log_{2}\frac{4}{5} = \log_{2}(12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5})$

Вычислим произведение под знаком логарифма:

$12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 4}{1} = 16$

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$\log_{2}16$

Так как $16 = 2^4$, то по определению логарифма:

$\log_{2}(2^4) = 4$

Ответ: 4

2) Для решения этого примера преобразуем каждый множитель, используя свойства логарифмов $\log_a b^p = p \log_a b$ и $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.

Рассмотрим первый множитель: $\log_{5}128$.

Так как $128 = 2^7$, то $\log_{5}128 = \log_{5}(2^7) = 7\log_{5}2$.

Рассмотрим второй множитель: $\log_{2}\frac{1}{125}$.

Так как $\frac{1}{125} = 125^{-1} = (5^3)^{-1} = 5^{-3}$, то $\log_{2}\frac{1}{125} = \log_{2}(5^{-3}) = -3\log_{2}5$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(7\log_{5}2) \cdot (-3\log_{2}5) = -21 \cdot (\log_{5}2 \cdot \log_{2}5)$

Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:

$-21 \cdot 1 = -21$

Ответ: -21

3) Решим этот пример, разбив его на два слагаемых и используя свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

Первое слагаемое: $3^{2-\log_{3}5}$.

$3^{2-\log_{3}5} = \frac{3^2}{3^{\log_{3}5}} = \frac{9}{5}$

Второе слагаемое: $(\frac{1}{3})^{\log_{3}5}$.

Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:

$(\frac{1}{3})^{\log_{3}5} = (3^{-1})^{\log_{3}5} = 3^{-1 \cdot \log_{3}5} = 3^{-\log_{3}5}$

Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$3^{\log_{3}5^{-1}} = 3^{\log_{3}\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}$

Сложим полученные результаты:

$\frac{9}{5} + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2$

Ответ: 2

4) Решим этот пример, также как и предыдущий, разбив на два слагаемых.

Первое слагаемое: $9^{3-\log_{3}54}$.

Приведем основание степени к основанию логарифма: $9 = 3^2$.

$9^{3-\log_{3}54} = (3^2)^{3-\log_{3}54} = 3^{2(3-\log_{3}54)} = 3^{6 - 2\log_{3}54}$

Используем свойство разности в показателе степени:

$\frac{3^6}{3^{2\log_{3}54}} = \frac{3^6}{3^{\log_{3}54^2}} = \frac{3^6}{54^2}$

Вычислим значения:

$\frac{3^6}{54^2} = \frac{729}{(2 \cdot 27)^2} = \frac{729}{4 \cdot 27^2} = \frac{729}{4 \cdot 729} = \frac{1}{4}$

Второе слагаемое: $7^{-\log_{7}4}$.

Используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$ и основное логарифмическое тождество:

$7^{-\log_{7}4} = 7^{\log_{7}4^{-1}} = 7^{\log_{7}\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$

Сложим полученные результаты:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$