Номер 20.7, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.7. Вычислите десятичные логарифмы:

1) $ \text{lg}10000; $ 2) $ \text{lg}0,1; $ 3) $ \text{lg}0,0001; $ 4) $ \text{lg}\sqrt{10}. $

1) Десятичный логарифм (обозначается как $lg$) — это логарифм по основанию 10. По определению логарифма, $lg(10000) = x$ означает, что $10^x = 10000$. Чтобы найти $x$, представим число 10000 в виде степени числа 10. Поскольку $10000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$, то мы ищем $lg(10^4)$. Используя основное свойство логарифма $log_a(a^b) = b$, получаем, что $lg(10^4) = 4$.

Ответ: 4.

2) Нам нужно вычислить $lg(0,1)$. Для этого найдём такое число $x$, что $10^x = 0,1$. Представим десятичную дробь 0,1 в виде степени числа 10. Мы знаем, что $0,1 = \frac{1}{10}$. Используя свойство степеней с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{10} = 10^{-1}$. Таким образом, $lg(0,1) = lg(10^{-1})$. По свойству логарифма, $lg(10^{-1}) = -1$.

Ответ: -1.

3) Вычислим $lg(0,0001)$. Это эквивалентно нахождению такого показателя степени $x$, что $10^x = 0,0001$. Представим число 0,0001 в виде степени 10. $0,0001 = \frac{1}{10000}$. Так как $10000 = 10^4$, то $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$. Следовательно, $lg(0,0001) = lg(10^{-4})$. Применяя свойство логарифма $log_a(a^b) = b$, находим, что $lg(10^{-4}) = -4$.

Ответ: -4.

4) Необходимо вычислить $lg(\sqrt{10})$. Найдём такое число $x$, для которого выполняется равенство $10^x = \sqrt{10}$. Представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, поэтому $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$. Тогда $lg(\sqrt{10}) = lg(10^{\frac{1}{2}})$. Используя свойство логарифма $log_a(a^b) = b$, получаем $lg(10^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.