Номер 20.3, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.3. 1) $ \log_5 22 - \log_5 11 - \log_5 10; $

2) $ \log_2 7 - \log_2 63 + \log_2 36; $

3) $ \log_3 8 - \log_3 4 + \log_3 \frac{9}{2}; $

4) $ \log_7 64 - \log_7 256 + \log_7 28. $

1) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов, в частности, свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a{b} - log_a{c} = log_a{(\frac{b}{c})}$.

Сначала сгруппируем вычитаемые логарифмы: $log_5{22} - (log_5{11} + log_5{10})$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a{b} + log_a{c} = log_a{(b \cdot c)}$:

$log_5{11} + log_5{10} = log_5{(11 \cdot 10)} = log_5{110}$.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$log_5{22} - log_5{110} = log_5{(\frac{22}{110})}$.

Сократим дробь: $\frac{22}{110} = \frac{1}{5}$.

Получаем $log_5{(\frac{1}{5})}$.

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $log_5{(5^{-1})} = -1 \cdot log_5{5} = -1$.

Ответ: -1

2) Используем свойства сложения и вычитания логарифмов с одинаковым основанием, чтобы объединить все члены в один логарифм:

$log_2{7} - log_2{63} + log_2{36} = log_2{(\frac{7 \cdot 36}{63})}$.

Теперь упростим выражение под знаком логарифма:

$\frac{7 \cdot 36}{63} = \frac{7 \cdot 36}{7 \cdot 9} = \frac{36}{9} = 4$.

Таким образом, исходное выражение равно $log_2{4}$.

Поскольку $4 = 2^2$, то $log_2{4} = log_2{(2^2)} = 2 \cdot log_2{2} = 2$.

Ответ: 2

3) Аналогично предыдущим примерам, применим свойства логарифмов для преобразования выражения:

$log_3{8} - log_3{4} + log_3{\frac{9}{2}} = log_3{(\frac{8 \cdot \frac{9}{2}}{4})}$.

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{8 \cdot \frac{9}{2}}{4} = \frac{4 \cdot 9}{4} = 9$.

Получаем $log_3{9}$.

Так как $9 = 3^2$, то $log_3{9} = log_3{(3^2)} = 2 \cdot log_3{3} = 2$.

Ответ: 2

4) Объединим логарифмы с основанием 7, используя те же свойства:

$log_7{64} - log_7{256} + log_7{28} = log_7{(\frac{64 \cdot 28}{256})}$.

Упростим дробь под знаком логарифма. Сначала сократим 64 и 256:

$\frac{64}{256} = \frac{1}{4}$.

Теперь выражение примет вид: $log_7{(\frac{1}{4} \cdot 28)} = log_7{(\frac{28}{4})} = log_7{7}$.

Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице: $log_7{7} = 1$.

Ответ: 1