Номер 19.20, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.20. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = 2\cos3x + 3x;$

2) $f(x) = -x^3 + 9x.$

1) Дана функция $f(x) = 2\cos(3x) + 3x$.

Для решения неравенства $f'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования сложной функции $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$ и правило дифференцирования суммы, получаем:

$f'(x) = (2\cos(3x) + 3x)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' + 3 = -6\sin(3x) + 3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-6\sin(3x) + 3 > 0$

$-6\sin(3x) > -3$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin(3x) < \frac{1}{2}$

Обозначим $t = 3x$. Неравенство примет вид $\sin(t) < \frac{1}{2}$.

Рассмотрим единичную окружность. Уравнению $\sin(t) = \frac{1}{2}$ соответствуют углы $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Неравенство $\sin(t) < \frac{1}{2}$ выполняется для углов $t$, которые лежат на дуге окружности от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ (следующего оборота). С учетом периодичности синуса, общее решение для $t$ можно записать в виде:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^3 + 9x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (-x^3 + 9x)' = -3x^2 + 9$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-3x^2 + 9 > 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-3x^2 > -9$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 < 3$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

Графически, парабола $y = x^2 - 3$ находится ниже оси абсцисс между своими корнями $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.