Номер 19.21, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.21. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int \left(5x^4 - 3x^2 + \frac{1}{1+x^2}\right)dx$;

2) $\int (\cos 2x - (2x + 1)^3)dx$.

1) Найдем неопределенный интеграл $\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{1}{1+x^2})dx$.

Используем свойство линейности интеграла, которое позволяет разбить интеграл от суммы на сумму интегралов:

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{1}{1+x^2})dx = \int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int \frac{1}{1+x^2}dx$.

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

Первый интеграл, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.

Второй интеграл, используя ту же формулу:

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Третий интеграл является табличным:

$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan(x)$.

Теперь объединим полученные результаты и добавим константу интегрирования $C$:

$x^5 - x^3 + \arctan(x) + C$.

Ответ: $x^5 - x^3 + \arctan(x) + C$.

2) Найдем неопределенный интеграл $\int (\cos(2x) - (2x+1)^3)dx$.

Используем свойство линейности интеграла:

$\int (\cos(2x) - (2x+1)^3)dx = \int \cos(2x)dx - \int (2x+1)^3 dx$.

Вычислим каждый интеграл:

Для первого интеграла используем формулу $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:

$\int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Для второго интеграла используем формулу для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $k=2$, $b=1$, $n=3$.

$\int (2x+1)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^4}{4} = \frac{(2x+1)^4}{8}$.

Теперь объединим результаты и добавим общую константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{(2x+1)^4}{8} + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{(2x+1)^4}{8} + C$.